我在这里的第一篇文章,我打算把我很久以前发表在Google博客的一篇文章,转录于此。我在以前一般会选择公式$e^{i\pi}+1=0$作为网站的标记,后来还是选择毕达哥拉斯的这个哲学思想作为我的网站的名称,“数统治着宇宙”也更接近这个信息时代。
谁知道呢?我刚上学的时候的数学作业经常是抄别人的,直到有一次,我已经忘了是什么原因,好像没有办法抄了,于是就全部自己做,结果也得了个满分,从那以后,我基本上再也没有在数学作业上抄过别人了。当时我经常和同村的一个大哥玩,他经常出一些我当时没有学过的数学题让我们作,经过简单的“培训”,在二年级左右的时候也就学会了一些方程求解了。到了四五年级的时候,当时数学书中经常会有一些稍微难一点的思考题,我们的老师经常以一种独特的方式让我们做这些题目:谁作完这些题,下午第四节课就可以出去玩了。有这样的好事,同学们作题目自然都是争先恐后的,我也在这样的过程中多做了不少题目。那个时候一个感觉是一道应用题经常可以有多种方法加以解决,有时候大家解题方法各不相同,有全是对的。作数学题可以玩,那时给我的感觉是:作数学是快乐的。
上初中以后,在学校的安排下,我们一些数学成绩好一点的参加了一次数学竞赛,我也已经忘了是什么性质的竞赛了,反正我的成绩比较差,最郁闷的是我当时看到(4,6)这样的式子的时候根本不明白是什么含义。看来我的数学知识已经落伍了,这些知识在小学正规的教材里根本没有提到过,当时是小学毕业后的那个暑假里,学校安排了一次假期培训,讲了一些数学知识以及学习一些英语。我当时没有参加这个培训。在初中阶段,感觉最难的自然是几何这门课了,我至今还是找不到添加辅助线的规律。在整个初中来说,参加过一些数学竞赛的培训,参加过竞赛,不过基本上没有成绩,只不过数学成了我学的最好的一门课了,至于其他已经没有感觉了。唯一记得的就是我把我们老师借给我看的一本关于华罗庚数学竞赛的书(那真是一本好书,可惜现在已经忘了书名)给弄丢了。总的说来,那时我对于数学是不自觉的。
上高中以后,第一学期就在学校的组织下参加了希望杯数学竞赛,没有得到任何奖项,当时对我影响比较大的是当时我们学校一个高三的师兄参加全国高中数学联赛获得了一等奖,被保送上了南开大学。虽然当时我不明白上大学的含义,可是当时整个学校的氛围告诉我,我应该参加这个竞赛。也正是在这件事的激励下,我开始比较自觉的学习数学。我经常去阅览室看数学杂志,当时看得比较多的是《数学通讯》和《中等数学》,杂志中经常有非常巧妙的方法,我也抄了不少,同时也作了不少题目,后来在高三如愿参加了全国高中数学联赛,不过只得了一个二等奖(好像还只是省一级的),实力不够呀。不过各种努力没有白费,实际上后来参加高考,就可以发现基本上的题目类型都已经遇到过。这个阶段来说,作数学真是有些累,不过这时我处于一个自觉的状态,也就乐在其中了,更重要的是,经常会遇到难题,然后通过自己的努力想到了办法给解决之后,开始尝到了一些成功的喜悦。不过我对数学的认识也只是到这一步,是朦胧的,我根本不知道数学大厦竟然如此庞大。
实际上在上大学之前,当时高中的数学书有一个所谓甲种本,里面已经有一些微积分的知识了,我在当时已经看过一些,似懂非懂,也看过一点矩阵方面的东西,同样是这个感觉。不过我还是没有感觉到大学数学和高中数学有太大的区别。我第一学期在教改班上课,学的是高等数学(同济大学的),感觉没有特别之处,实际上我当时意识到极限是微积分最基本的概念,不是吗,微分是一个极限过程,积分同样是一个极限过程。而实际上这个时候我已经漏过了微积分的基础理论部分了。后来由于有两门课成绩不够,我自己选择进入了数学系。第一学年下来除了感觉数学证明特别多,还是没有太大的变化,不过这个时候有另外一件事对我影响比较大,当时我一直希望能够买到一本华罗庚先生的《数论导引》,后来从杂志上发现北京有个九章数学书店,而且科学出版社也重新印刷了华罗庚先生的《数论导引》,于是我赶紧买了一本(不过后来一直没有看),同时过来的有一个书单,这个书单是科学出版社的一个计划——好书重现计划,里面列出了一大堆科学出版社曾经出版过而目前已经买不到的书,这个书单让我第一次发现数学居然有这么多的好书可以读。而这实际上只是国内翻译的一些数学书。就是这个书单,让我感觉到高中数学书和大学数学书籍的不同,教材和专著的区别。当时我的感觉是我要收集这些数学书,我一直比较喜欢买书,至今仍然如此。不过科学出版社的这个计划好像进展极慢,至今只重新出版少数几本。
等开始上实变函数和泛函分析的时候,我突然之间感觉到了一种变化,那就是所谓函数空间的引入,我想一个人如果对数学更敏感一点,在学习线性代数的线性空间部分的时候就应该有一些发现了,在这个地方,函数已经和普通的实数处于相同的位置了,它们之间的运算居然和数的运算一样,开始用一种统一的手段来处理了,点这样的概念被抽象化了。这个感觉真的很奇妙,点不再是原来的点,点还是原来的点。数学越来越抽象了。
在上微分方程之类的课程的时候,感觉难度越来越大,这个时候感觉到自己的基础已经不够了。
后来我看了一些课外书,尤其是柯朗的《数学分析和微积分引论》,这本书是先引入积分的概念,然后将微分的。而且这本书特别强调了微积分基本定理。这个时候对于微积分的理解也深了一点,它们确实都是极限过程,可是它们居然是一个互逆的过程,说实在的,刚开始学完微积分基本定理的时候并有觉得他们有什么重要的。现在我的理解是:他们的关系就好像加与减,乘与除一样,是一个互逆的过程,这意味着如果我作微分感觉困难的话,我应该可以考虑积分,他们应该具有一些相似的地方。
整个大学阶段,由于和高中完全不同的氛围,我不大适应这样的生活,对自己也比较放松,除了实变函数和泛函分析带来的变化,再也感觉不到进步了。
工作以后,只是在闲暇之余看过一些数学书,在2002年基本上休息了近一年。在这段时间看了一些数学书,包括Serge Lang的《实分析和泛函分析》,Nathan Jacobson的《抽象代数讲义》,柯朗的《数学分析和微积分引论》,以及北京大学的一个数学分析的习题集。不过由于都没有坚持到底,一本也没有看完。
我始终觉得大学过于宽松,容易迷失自己,在高中的时候过的最充实。我目前买了不少数学书,可是我能把他们看完吗?
2004年10月,我有这样一个机会,来总结我对于数学的感觉,现在看来,我对于数学的认识还是那么肤浅,还是无法领略数学之美,还是在数学这座大门之外。