这是我在学习韦伊的《Number Theory For Beginners》的一个翻译。全文十三章，这里分十三篇文章给出！

群以及子群的定义表明群$G$的任意个子群(无论是有限的还是无限的)的交集仍旧是$G$的子群.

定义7.1 $a, b, \ldots, c$为群$G$的元素. 那么所有包含$a, b, \ldots, c$的$G$的子群的交集$G’$称作是$a, b, \ldots, c$生成的, 它们被称为$G’$的生成元.

另一种说法为$G’$是包含$a, b, \ldots, c$的$G$的最小子群; 有可能出现这样的情形: $G’$就是$G$本身.

令$G$为一个群, $x$是$G$中元素, 用$G_x$表示由$x$生成的子群. 假设$G$是用加法来表示的. 同往常一样, 用$-x$来表示$0 – x$; 它必然属于$G_x$. 用$0 \cdot x$来表示$0$; 对每一个大于0的整数$n$, 用$nx$来表示$n$个都是$x$的项的和$x + x + \cdots + x$, $(-n)x$来表示$-(nx)$; 对$n$进行归纳可知, 所有这些元素都属于$G_x$. 同样使用归纳法, 我们立即可以验证如下公式

\[mx + nx = (m + n)x, m(nx) = (mn)x.\]

对于$Z$中的所有$m$, $n$成立. 第一个公式说明所有元素$nx$ ($n \in Z$)构成$G$的一个子群; 显然, 它就是$G_x$. 为了方便起见, 我们仅仅把它作为$G$在乘法群下的一个定理; 此时我们用$x^0$表示$G$中的中性元1, $x^{-1}$表示元素$x’$满足$x’x = 1$, 用$x^n$表示$n$个$x$的乘积$x \cdot x \cdot \ldots \cdot x$, $x^{-n}$表示$(x^n)^{-1}$.

定理7.2 令$G$为乘法群; 那么对任何的$x \in G$, 由$x$生成的$G$的子群由元素$x^n$, $n \in Z$组成.

$G$和$x$的含义如定理7.2所示, $M_x$表示满足$x^a = 1$的整数$a$构成的集合. 由于$x^0 = 1$, 因而$M_x$是非空的. 对于所有整数$a$, $b$, 我们有

\[x^{a – b} = x^a \cdot (x^b)^{-1},\]

表明$x^a = x^b$成立当且仅当$a – b \in M_x$; 特别的, $M_x$在减法下封闭. 因此$M_x$满足定理2.2的条件 (也就是说, 它是加法群$Z$的子群), 由某个整数$m \ge 0$的倍数组成; 如果$m$不是0, 它是最小的大于0的整数满足$x^m = 1$. 如果$m = 0$, 所有的元素$x^a$都是不同的; 如果$m > 0$, $x^a$等于$x^b$当且仅当$a \equiv b (\mod m)$.

定义7.3 两个群$G$, $G’$之间的同构是一个$G$到$G’$的一一对应(双射), 把$G$上的群运算映射到$G’$上的群运算.

当存在这样的映射时, $G$和$G’$称作是同构的. 同构的概念可以以同样的方式推广到环和域.

依据这个定义, 前面得到的结果可以按如下方式重新给出:

定理7.4 令$G$为乘法群, 由单个元素$x$生成. 那么或者$G$是无限的, 映射$x^a \rightarrow a$是$G$到加法群$Z$的一个同构, 或者它由有限的$m$个元素组成, 此时映射$x^a \rightarrow (a \mod m)$ 是$G$到$Z$中模$m$同余类加法群的同构.

当然, 如果$G$是任一个群, $x$为$G$中元素, 定理\ref{theorem:VII_2}可以应用到由$x$生成的$G$的子群上.

定义7.5 有限群的元素个数称为它的阶数. 如果有限群是由单个元素生成的, 它就称为是循环的; 如果群中元素$x$生成一个$m$阶的群, 那么$m$称作元素$x$的阶.

习题

1. $F$为有限域, 证明由1生成的$F$的加法群的子群具有素数$p$阶, 是$F$的子域, 同构于模$p$同余类域$F_p$.

证明：如果用$S$表示这个子群,我们可以证明如果$m,n \in S$,那么$mn \in S$,如果$p$不是素数,设$p=mn$,则$mn=0$,由此必有$m=0$或者$n=0$,矛盾.至于它是子域,只需要证明$m \in S$,必有$n \in S$,使得$mn=1$即可,这里$m,n \neq 0$,由于$(m,p)=1$,存在整数$x,y$,使得$mx+py=1$,令$n=x$即可.

上面论述过程对于整数$m$和子群中的元素不做区分,实际上就是因为最后的结论,他们之间存在同构关系.

2. 证明群$G$的非空的有限子集$S$是$G$的子群, 当且仅当它在群运算下封闭 (提示: 如果$a \in S$, $a \rightarrow ax$是$S$到它自身的一个双射).

证明：必要性显然,$S$是子群,自然在群运算下封闭.下面证明充分性,设$S$在群运算下封闭.

由于$S$非空,存在$a \in S$,于是考虑映射$x \rightarrow ax$,这是一个双射(这里用到了有限这个条件,只有在有限集合中,单射同时是满射),于是$\{ax: x \in S\} = S$,也就是存在$x$使得$ax=a$.$x=1$,它说明$1 \in S$,同时说明存在$x$,满足$ax=1$.也就是$a^{-1} \in S$.

3. 证明有限环是一个域当且仅当它没有零因子.

证明：必要性显然,域中不存在零因子.至于充分性.设$F$是有限环,其中不存在零因子.我们证明它是一个域,也就是$F$的非零因子关于乘法构成一个群.我们只需要证明非零元素中存在乘法单位元和乘法逆元.设$a \in F$,$a \neq 0$,那么对于所有的$x \in F$,$x \neq 0$,有$ax \neq 0$,这是利用了不存在零因子这个条件.另一方面不存在零因子,也意味着$x \rightarrow ax$是一个单射,加上有限这个条件,从而是一个双射,和上一道题目类似,说明$F$中的非零元素构成乘法群.

4. 如果$G$是一个(交换)群, $n$为整数, 证明元素$x^n$, $x \in G$构成$G$的一个子群.

证明：令$S = \{x^n:n\in Z\}$,$x^0=1$是$S$的单位元,$x^n\cdot x^{-n}=x^{0}=1$,由此可知它们构成一个群.

5. $G’$, $G”$为(交换)群$G$的子群, 证明元素$x’x”$, $x’ \in G’$, $x” \in G”$, 组成$G$的一个子群.

证明：令$S = \{x’x”,x’ \in G’, x” \in G”\}$.运算的封闭性很容易验证(需要交换性这个条件).$G’$和$G”$是子群,说明单位元$1 \in G’$,$1 \in G”$,于是$1 \in S$,而$(x’x”)((x’)^{-1}(x”)^{-1})=1$,说明$x’x”$存在逆元,有了这些就足够说明$S$是一个子群了.

6. $G$为(交换)群, $x$为$G$中$m$阶元素, $y$为$G$中$n$阶元素. 证明, 如果$(m, n) = 1$, 那么$x^ay^b = 1$当且仅当$x^a = y^b = 1$: 由此可以证明由$x$, $y$生成的群是$mn$阶的, 并且由$xy$生成.

证明：充分性显然,$x^a=y^b=1$,显然有$x^ay^b=1$.

必要性:设$x^ay^b=1$,我们需要证明$m|a$,$n|b$,或者说如果有$0 \le a < m$,$0 \le b < n$时,必有$a = b = 0$.显然如果$a = 0$,必有$b=0$.

\[x^a=y^{-b} \Rightarrow x^{am}=y^{-bm}=1 \Rightarrow n|bm,\]

而$(m,n)=1$,因此$n|b$,$b=0$,于是可得到$a=0$.

有了前面的结论,显然$x$,$y$生成的子群可以$x^ay^b$的形式表示,另一方面$(xy)^{mn}=1$,任何小于$mn$的正整数$p>0$,都有$(xy)^p \neq 1$.

7. 证明: $m > 2$, $n > 2$, $(m, n) = 1$, 和$mn$互素的模$mn$同余类乘法群不是循环的 (提示: 利用习题5.6, 以及这样一个事实: 每一个循环群至多有一个2阶子群).

证明：首先说明:每一个循环群至多有一个2阶子群.循环群中的元素可以记为$\{1,a,a^2,\cdots,a^{n-1}\}$,其中$a^n=1$,当$n$为偶数的时候,$a^{n/2}$是一个2阶元素,$\{1,a^{n/2}\}$构成一个2阶子群.其余元素都不是2阶的,当$n$为奇数时,不存在2阶子群.

根据习题V.6,方程组$x\equiv 1(\mod{m})$,$x \equiv -1(\mod{n})$存在模$mn$意义下的唯一解$x_1$,方程组$x\equiv -1(\mod{m})$,$x \equiv 1(\mod{n})$存在模$mn$意义下的唯一解$x_2$,显然$x_1 \neq x_2$,$x_1 \neq 1$,$x_2 \neq 1$,并且有$x_1^2 \equiv 1(\mod{m})$,$x_1^2 \equiv 1(\mod{n})$,由于$(m,n)=1$,于是$x_1^2 \equiv 1(\mod{mn})$,同理$x_2^2 \equiv 1(\mod{mn})$,这就是说这个群中至少存在两个2阶子群$\{1,x_1\},\{1,x_2\}$.因而不可能是循环群.

8. 找出所有的$n$, 使得模$2^n$奇同余类乘法群是循环的.

$n=1$,或者$x=2$,满足条件;当$x>2$时,模$2^n$奇同余类乘法群不可能是循环的,此时$2^n-1$和$2^{n-1}-1$都是2阶元素,这和循环群至多有一个2阶元素矛盾.

9. 证明, 如果$G$是(交换)群, $n > 0$为整数, $G$中所有其阶数能整除$n$的元素构成$G$的子群.

证明：记$G$中所有其阶数能整除$n$的元素组成的集合为$S$,于是如果$x \in S$,则存在$a$,使得$x^a =1$,且$a|n$.首先,$1 \in S$,如果$x,y\in S$,则$(xy)^n=1$,于是$xy$的阶能够整除$n$,$xy \in S$,其次$x^a=1$,则$(x^{-1})^a=1$,也就说,$x^{-1}$的阶也能整除$n$,从而$x^{-1} \in S$.剩余的条件容易验证,可知$S$构成一个群.

10. 证明, 如果$G$是有限(交换)群, $G$中所有元素的乘积或者是1, 或者是一个2阶元素.

证明：我们把$G$中元素分成两类,第一类是$a \neq a^{-1}$,记为$U$,第二类中元素满足$a = a^{-1}$,记作$V$,则$U \cap V = \emptyset$,$G=U \cup V$,$U$种元素的乘积必然等于1,而且必然是偶数个元素,但是$V$中元素的乘积不一定等于1,但是他们的乘积的平方必然等于1.

11. 如果$p$是一个素数, 证明$(p – 1)! \equiv -1 (\mod p)$ (提示: 考虑模$p$乘法群, 以及利用习题7.10的结论).

证明：考虑模$p$乘法群,这是一个有限群,其元素恰好就是$1,2,\cdots,p-1$.那么根据上一道题目的结论,$(p-1)!\equiv 1(\mod{p})$,或者$[(p-1)!]^2 \equiv 1(\mod{p})$.我们如果说明不可能是前一个结论,那么必然有$(p-1)!\equiv -1(\mod{p})$.

根据前面题目的证明方法,对于$1 \le x \le p-1$,如果$x^2 \equiv 1 (\mod{p})$,必有$(x-1)(x+1)\equiv0(\mod{p})$,此时$x=1$,或者$x=p-1$,除此之外的$x$都有$x \neq x^{-1}$,于是全部元素的乘积满足

\[(p-1)! \equiv p-1 \equiv -1(\mod{p}).\]