这是我在学习韦伊的《Number Theory For Beginners》的一个翻译。全文十三章，这里分十三篇文章给出！
引理10.1 设$G$为$m$阶群. 如果对于$m$的每一个因子$d$, $G$中只有$d$个元素满足$x^d = 1$, 那么$G$是循环的.
对于$m$的每一个因子$d$, 令$\psi(d)$为$G$中$d$阶元素的个数; 我们需要证明$\psi(m) > 0$. 在每一种情形下, 由于$G$的每一个元素的阶整除$m$, 我们有
\[m = \sum_{d | m}{\psi(d)}.\]
如果对某个$d$, $\psi(d) > 0$, 于是$G$包含有$d$阶元素, 它生成$d$阶循环群$G’$. $G’$中的所有$d$个元素满足$x^d = 1$, 我们的假设说明$G$的所有$\psi(d)$个$d$阶的元素全部属于$G’$; 根据定理8.1的推论3, 它恰好有$\psi(d)$个这样的元素. 因此, 如果$\psi(d)$不是0, 它等于$\varphi(d)$. 既然$\sum{\psi(d)}$等于$m$, 根据定理8.1的推论4, $\sum{\varphi(d)}$也等于$m$, 这意味着对于所有的$d$, $\psi(d) = \varphi(d)$; 特别的, $\psi(m) = \varphi(m) > 0$.
现在我们考虑任意一个域$K$, 用$K^{\times}$表示$K$的非零元素组成的乘法群, 我们来考虑$K^{\times}$的元素以及有限阶子群. 如果$x$是$K^{\times}$的$m$阶元素, 则$x^{m} = 1$, $x^a = x^b$当且仅当$a \equiv b (\mod m)$; 习惯上, $x$称作单位根, 或者更准确地说$m$次单位元根. 对每一个$n$, $K$中满足$x^n = 1$的元素$x$是单位根, 其阶整除$n$. 在复数域, 数
\[e^{2 \pi i / m} = \cos{\frac{2\pi}{m}} + i \sin{\frac{2 \pi}{m}}\]
是$m$次单位元根; 对于$(a, m) = 1$的时候$e^{2 \pi ia / m}$也是.
定理10.2 如果$K$是任意的域, $K^{\times}$的每一个有限子群都是循环的.
对每一个$n > 0$, $K$中满足$x^n = 1$的元素是多项式$X^n – 1$的根; 根据定理IX.2的推论, $K$中至多只有$n$个这样的元素. 我们的定理立刻可以由引理得到.
推论10.3 如果$K$是有限域, 则$K^{\times}$是循环的.
推论10.4 $K$是任意的域, $n$是大于0的整数, $K$中满足$x^n = 1$的元素组成一个循环群, 其阶整除$n$.
很显然它们构成$K^{\times}$的子群; 由定理10.2知它是循环的; 如果它是由$x$生成的, $x$的阶, 同时也就是这个群的阶, 整除$n$.
定理10.5 $p$为任一素数, 存在和$p$互素的整数$r$, 使得$1, r, r^2, r^3, \ldots, r^{p – 2}$, 在某种顺序下, 分别模$p$同余于$1, 2, \ldots, p – 1$.
这只是以下事实的一个传统说法: 与$p$互素的模$p$同余类组成模$p$同余类域$F_p$的乘法群$F_p^{\times}$, 根据定理X.1的推论, 它是循环的; 如果$(r \mod p)$是这个群的生成元, $r$具有定理X.2所述的性质.
设$m$为大于1的整数, 和$m$互素的模$m$同余类乘法群并不总是循环的 (参考习题VII.7和VII.8). 它是循环的, 当且仅当存在和$m$互素的整数$r$, 使得$(r \mod m)$在该群中是$\varphi(m)$阶的, 也就是说, 当且仅当满足$r^x \equiv 1 (\mod m)$的大于0的最小整数$x$等于$\varphi(m)$; 如果这一点成立,则称$r$为模$m$原根. 于是对于和$m$互素的每一个整数$a$, 存在整数$x$使得$r^x \equiv a (\mod m)$; 整数$x$仅仅由模$\varphi(m)$决定, 称为$a$的\emph{指标}, 并记之为${\text{ind}}_r(a)$. 根据定理7.2, 如果$r$是模$m$原根, 映射
\[(a \mod m) \rightarrow (\text{ind}_r(a) \mod \varphi(m))\]
是与$m$互素的模$m$同余类乘法群到模$\varphi(m)$的同余类群的一个同构. 特别的, 对于和$m$互素的$a$和$b$, 我们有:
\[\text{ind}_r(ab) \equiv \text{ind}_r(a) + \text{ind}_r(b) (\mod \varphi(m)).\]
和对数法则类似.
习题
1. $m$为大于1的整数, 证明模$m$的原根的个数或者等于0, 或者等于$\varphi(\varphi(m))$.
证明：假设$r$为模$m$的原根,那么与$m$互素的模$m$同余类是循环的,并且可以由$r$生成,可以表示为
\[r,r^2,\cdots,r^{\varphi(m)}=1,\]
所有与$\varphi(m)$互素的$k$,$r^k$也是模$m$原根,于是一共有$\varphi(\varphi(m))$个.
2. 找出模13的原根; 对于$1 \le a \le 12$求出$\text{ind}_r(a)$; 利用这张表找出所有的模13原根, 以及模13的5次幂和29次幂.
如果$r$为模13的原根,那么$r^{12}=1$,$r^n \neq 1$,$0 \le n<12$,另一方面,$r^k=1$,必有$k|12$,12的因子为$1,2,3,4,6,12$,逐个验证.
3. 当$p$是素数时, 利用模$p$原根的存在性, 证明$1^n + 2^n + \cdots + (p – 1)^n$模$p$同余于$0$或者$-1$, 依据不同的整数$n \ge 0$.
证明：存在与$p$互素的$r$,使得$1,r,r^2,\cdots,r^{p-2}$与$1,2,\cdots,p-1$模$p$同余,于是
\[\begin{aligned}
1^n + 2^n + \cdots + (p – 1)^n &\equiv 1^n+r^n+r^{2n}+\cdots + r^{(p-2)n}\\
&\equiv \frac{1-(r^n)^{p-1}}{1-r^n}(\mod{p})
\end{aligned}\]
当$(p-1)|n$时,分子为零,需要特别考虑,此时
\[1^n + 2^n + \cdots + (p – 1)^n \equiv 1 + 1 + \cdots + 1 = p-1 \equiv -1(\mod{p}).\]
否则,根据前面的$1-(r^n)^{p-1}=0$,可知
\[1^n + 2^n + \cdots + (p – 1)^n \equiv 0(\mod{p}).\]
4. 证明一个模$m > 1$的原根同时也是模$m$的每一个因子的原根. (提示: 使用习题5.6)
5. 使用二项式定理, 通过归纳法证明, 如果$p$是奇素数, 那么对所有的$n \ge 0$:
\[(1 + px)^{p^n} \equiv 1 + p^{n + 1}x (\mod p^{n + 2})\]
(参考习题6.10). 并由此证明: 如果$r$是一个模$p$原根, 它是模$p^n$的原根的充要条件是$p^2$不能整除$r^{p – 1} – 1$, 此时, $r$和$r + p$都是模$p^n$原根.
证明：$n=0$时,结论显然成立.
$n=1$时,
\[(1 + px)^p = 1 + p(px) + \frac{p(p-1)}{2}(px)^2+ \cdots + (px)^p \equiv 1+p^2x(\mod{p^3})\]
假设结论对于$n$成立,对于$n+1$来说,
由于
\[(1+px)^{p^n} \equiv (1 + p^{n+1}x)(\mod{p^{n+2}}),\]
于是
\[(1 + px)^{p^{n+1}}=[(1+px)^{p^n}]^p \equiv (1 + p^{n+1}x)[(1+px)^{p^n}]^{p-1} (\mod{p^{n+2}}),\]
另一方面
\[(1 + p^{n+1}x)^p \equiv 1 + p^{n+2}x (\mod{p^{n+3}}),\]
6. 求出所有的$m > 1$, 使得模$m$原根存在. (提示: 使用习题10.4, 10.5, 7.7, 7.8, 以及这样的事实: 如果$r$是模某个奇数$m$的原根, 那么$r$和$r + m$均是模$2m$的原根).
7. 整数$m > 0$称作是不含平方因子的, 如果它没有形如$n^2$的因子, 这里$n > 1$.对每一个$m > 0$, 令$\mu(m) = (-1)^r$, 如果$m$是不含平方因子的并且是$r$个素数的乘积(当$m = 1$时$r = 0$), 否则$\mu(m) = 0$. 证明当$a$$b$互素时有$\mu(ab) = \mu(a)\mu(b)$; 从而有$\sum_{d | m}{\mu(d)} = 1$, 在$m = 1$时, 而在$m > 1$时和式为$0$. (提示: 用习题4.4的方式来表示$m$).
8. 令$K$为包含$m$次单位原根$x$的域; 对于$m$的每一个因子$d$, $F_d(X)$为$X – x^a$($0 \le a < m$, $(a, m) = \frac{m}{d}$)的乘积. 证明$F_d$是$\varphi(d)$阶的, 并有
\[X^m – 1 = \prod_{d | m}{F_d(X)};\]
从而, 可以使用习题X.7证明
\[F_m(X) = \prod_{d|m}{(X^{m/d} – 1)^{\mu(d)}}.\]
9. $K$的含义同习题10.8, 证明$K$中所有的$m$次单位原根之和等于$\mu(m)$. 特别的请给出当$K = F_p$, $m = p – 1$时的结果.