这是我在学习韦伊的《Number Theory For Beginners》的一个翻译。全文十三章，这里分十三篇文章给出！
设$p$是一个奇素数; $p = 2n + 1$. 用$G$表示和$p$互素的模$p$同余类乘法群$F_{p}^{\times}$; 它包含一个由同余类$(\pm 1 \mod p)$组成的2阶子群$H$; 我们对$G$和$H$应用第VIII节的定义和引理. 如果$x \in G$, 那么它属于而且仅属于一个陪集$xH$; 它由两个元素$(\pm x \mod p)$组成; 存在$n$个这样的陪集, 即陪集$(\pm 1 \mod p), (\pm 2 \mod p), \ldots, (\pm n \mod p)$. 我们在每一个陪集中选择一个元素, 我们把它们表示为$u_1, \ldots, u_n$, 它就是$G$中$H$的陪集的代表集合; 于是每一个和$p$互素的整数和$\pm u_1, \ldots, \pm u_n$之一模$p$同余. 下面的引理属于Gauss, 常称作Gauss引理, 这样的集合$\{u_1, \ldots, u_n\}$称作模$p$“Gauss集”. 这样的集合中最简单的是$\{1, 2, \ldots, n\}$.
引理12.1 $p = 2n + 1$为奇素数, $\{u_1, \ldots, u_n\}$是模$p$的Gauss集. $a$是和$p$互素的整数; $1 \le i \le n$, $e_i = \pm 1$, $i’$满足$au_i \equiv e_i u_{i’} (\mod p)$. 那么分别对应于乘积$e_1e_2 \cdots e_n$等于$+1$或者$-1$, $a$是模$p$的二次剩余或者二次非剩余.
在$n$个同余式$au_i \equiv e_i u_{i’} (\mod p)$中, 没有两个$i’$是相等的, 否则, 存在$i \neq k$, 有$au_i \equiv \pm au_k (\mod p)$, 因此$u_i \equiv \pm u_k (\mod p)$, 这和Gauss集的定义矛盾. 因此, 我们把所有这些同余式相乘, 可以得到
\[a^n(u_1 u_2 \cdots u_n) \equiv (e_1 e_2 \cdots e_n) \cdot (u_1 u_2 \cdots u_n) (\mod p)\]
既然所有的$u_i$和$p$互素, 因此
\[a^n \equiv e_1 e_2 \cdots e_n (\mod p).\]
根据定理11.2可以得到我们的结论.
定理12.2 $p$是奇素数, 在$p \equiv 1 (\mod 8)$或$p \equiv 7 (\mod 8)$时2是模$p$二次剩余, 而在$p \equiv 3 (\mod 8)$或$p \equiv 5 (\mod 8)$时是二次非剩余.
$p = 2n + 1$, 对$a = 2$和Gauss集$\{1, 2, \ldots, n\}$应用Gauss引理. 当$n = 4m$或者$4m + 1$时, $e_i$在$1 \le i \le 2m$时等于$1$, 其它情形等于$-1$; 于是$e_i$的乘积为$(-1)^{n – 2m} = (-1)^n$. 若$n = 4m + 2$或者$4m + 3$, $e_i$在$1 \le i \le 2m + 1$时等于$1$, 其它情形下为$-1$, $e_i$的乘积为$(-1)^{n – 2m – 1} = (-1)^{n – 1}$. 引理的一个简单的应用即可给出上述结论.
定义12.3 $p$是奇素数, 整数$a$和$p$互素, 我们定义$\big{(}\frac{a}{p}\big{)}$在$a$是模$p$二次剩余的时候等于$+ 1$, 而在$a$是模$p$的二次非剩余的时候等于$-1$; 这个符号称为Legendre符号.
给定$p$, 符号$(\frac{a}{p})$仅仅依赖于$a$的模$p$同余类. 根据定义有对于和$p$互素的$a$有$(\frac{a^2}{p}) = 1$.
如果$r$是模$p$原根, 若$a \equiv r^x (\mod p)$, 即$x = \text{ind}_r(a)$, 我们有$(\frac{a}{p}) = (-1)^x$; 这里我们需要注意到它并不依赖于$x$的选择, $x$定义为模一个偶数$p – 1$. 从指标(参考第X节的最后一个公式)的基本性质可知, Legendre符号具有如下性质: 对于所有和$p$互素的$a$, $b$有
\[(\frac{ab}{p}) = (\frac{a}{p}) \cdot (\frac{b}{p}).\]
定理11.2, 它的推论, 定理12.2分别为
\[a^{(p-1)/2} \equiv (\frac{a}{p}) (\mod p), (\frac{-1}{p}) = (-1)^{(p – 1) / 2}, (\frac{2}{p}) = (-1)^{(p^2 – 1) / 8}.\]
(对于最后一个公式, 注意到$\frac{p^2 – 1}{8}$总是一个整数, $p \equiv 1, 7 (\mod 8)$时为偶数, 而$p \equiv 3, 5 (\mod 8)$时为奇数).
下面的定理常称为“二次互反律”:
定理12.4
$p$和$q$是不同的奇素数, 那么有
\[(\frac{p}{q}) \cdot (\frac{q}{p}) = (-1)^{[(p – 1) / 2] \cdot [(q – 1) / 2]}\]
令$p = 2n + 1$, $q = 2m + 1$. 对$a = q$和模$p$的Gauss集$\{1, 2, \ldots, n\}$运用Gauss引理. 对于$1 \le x \le n$, 我们有$qx \equiv e_xu (\mod p)$, 这里$e_x = \pm 1$, $1 \le u \le n$; 这也可以表示为$qx = e_xu + py$, 这里$e_x$, $u$, $y$在$x$给定的时候由这些条件唯一确定. 特别的, $e_x = -1$当且仅当$qx = py – u$, 也就是$py = qx + u$, $1 \le u \le n$. 这意味着$y > 0$, 并有
\[y \le \frac{1}{p}(q + 1)n < \frac{q + 1}{2} = m + 1.\]
换句话说, $e_x = -1$的充要条件是能够找到$y$使得数对$(x, y)$满足条件
\[1 \le x \le n, 1 \le y \le m, 1 \le py – qx \le n.\]
因此, 如果数对$(x, y)$的数量是$N$, Gauss引理给出$(\frac{q}{p}) = (-1)^N$.
类似的, $(\frac{p}{q}) = (-1)^M$, 如果$M$是满足如下条件的数对$(x, y)$的数量:
\[1 \le x \le n, 1 \le y \le m, 1 \le qx – py \le m.\]
由于当$x$和$p$互素的时候$qx – py$不可能等于0, 特别的, 若$1 \le x \le n$, 我们的定理中的等式的左边等于$(-1)^{M + N}$, 这里$M + N$是满足如下条件的数对$(x, y)$的数量:
\[1 \le x \le n, 1 \le y \le m, -n \le qx – py \le m.\]
现在用$S$表示满足如下条件的数对$(x, y)$的数量
\[1 \le x \le n, 1 \le y \le m, qx – py < -n,\]
用$T$表示满足如下条件的数对$(x’, y’)$的数量
\[1 \le x’ \le n, 1 \le y’ \le m, qx’ – py’ > m.\]
在最后面的两个集合之间, 存在一个一一映射
\[x’ = n + 1 – x, y’ = m + 1 – y;\]
事实上, 根据我们的定义, 我们有
\[qx’ – py’ – m = – (qx – py + n).\]
因此$S = T$. 另一方面, $M + N + S + T$是所有的数对$(x, y)$的数量, 这里$1 \le x \le n$, $1 \le y \le m$, 因此它等于$mn$. 最后我们有
\[(\frac{p}{q}) \cdot (\frac{q}{p}) = (-1)^{M + N} = (-1)^{M + N + S + T} = (-1)^{mn},\]
正是我们要证明的.
习题
1. $p$为奇素数; 定义在和$p$互素的整数$a$上的函数$f(a)$如下: $f(a)$从$\pm 1$中取值, 并且
\[f(ab) = f(a)f(b); f(a) = f(b) \text{如果} a \equiv b (\mod p).\]
证明或者对所有的$a$有$f(a) = 1$; 或者对所有的$a$有$f(a) = (\frac{a}{p})$.
2. $p$是$a^2 + 2b^2$的奇因子, $a$, $b$为整数, 证明$p$和1或者3模8同余, 除非它整除$a$和$b$.
3. $p$, $q$是素数, $p = 2q + 1$, $q \equiv 1 (\mod 4)$, 证明2是模$p$原根.
4. 仅使用Gauss引理, 找出所有的素数$p > 3$, 使得3是一个二次剩余.
5. $a$为非零整数. 证明如果$p$, $q$是奇素数, 但不是$a$的因子, 使得$p \equiv q (\mod 4|a|)$, 那么$(\frac{a}{p}) = (\frac{a}{q})$. (提示: 令$a = \pm n^2b$, 这里$b$是不含平方因子的(参考习题X.7); 对$b$的每一个奇素因子和$p$, $q$应用二次互反律; 当$b$为偶数的时候应用定理12.2, 当$a < 0$时运用定理11.2的推论).