这是我在学习韦伊的《Number Theory For Beginners》的一个翻译。全文十三章，这里分十三篇文章给出！

我们回忆一下复数的概念; 它是形如$x + iy$的数, 其中$x$, $y$是实数; $i$满足$i^2 = -1$, 加法和乘法规则正如我们已经了解的. 特别的, 乘法规则如下

\[(x + iy)(x’ + iy’) = (xx’ – yy’) + i (yx’ + xy’).\]

复数集$C$在加法和乘法下构成一个幺环, 它的单位元是$1 = 1 + i \cdot 0$ (参考第VI节). 如果$a = x + iy$, $\bar{a} = x – iy$称为$a$的共轭虚数; $\bar{a}$的共轭虚数就是$a$. 映射$a \rightarrow \bar{a}$是$C$到它自身的一个保持加法和乘法的一一映射; 因此它是一个$C$的自同构, 也就是$C$到它自身的一个同构.

我们记$N(a) = a\bar{a}$, 并称之为$a$的\emph{范数}. 根据乘法规则, 如果$a = x + iy$, 则$N(a) = x^2 + y^2$; 从乘法的交换性有$N(ab) = N(a)N(b)$. $a$的范数等于0当且仅当$a = 0$; 否则它是大于0的实数. 因此对任意$a = x + iy \neq 0$, 我们有

\[a’ = {N(a)}^{-1}\bar{a} = \frac{x}{N(a)} – i\frac{y}{N(a)},\]

则$aa’ = 1$, 对每一个$b$, $a(a’b) = b$; 反过来, 如果$az = b$, 我们有$a'(az) = a’b$, 因此, 根据结合律有$z = a’b$. 这说明$C$实际上是一个域. 通常, 我们都把复数$a = x + iy$和平面上的点$(x, y)$联系起来; 它到原点0的Euclid距离为$|a| = {N(a)}^{1/2}$; 它也被称作是$a$的绝对值.

我们的目的不是要考虑域$C$, 而是它的子集, 那些复数$x + iy$(其中$x, y \in Z$, 也就是为常规整数)组成的集合. 很容易验证它是一个环; 这个环称为Gauss环, 其元素称为Gauss整数. 显然$a \rightarrow \bar{a}$是这个环的一个自同构. 如果$a$是一个Gauss整数, $N(a) = a\bar{a}$是$Z$中的正整数. 我们偶尔也会考虑数$x + iy$($x, y \in Q$, 即$x$, $y$为有理数); 可以证明它们构成一个域 (Gauss域).

$a$, $b$, $x$为Gauss整数, $b = ax$, $b$称为$a$的倍数, $a$整除$b$, 或者说$a$是$b$的因子; 此时$N(a)$整除$N(b)$. 每一个Gauss整数整除它的范数.

1的因子称为是单元; 如果$a = x + iy$是一个单元, $N(a)$整除1因而必然等于1; 由于$x$, $y$是整数, 这意味着它们中的一个是$\pm 1$, 而另一个为0. 因此Gauss单元是$\pm 1$, $\pm i$.

两个非零的Gauss整数$a$, $b$相互整除的充要条件是它们只相差一个单元因子, 即若$b = ea$, $e = \pm 1, \pm i$; 则称它们是联合的. 给定的Gauss整数$a \neq 0$的四个联合之中, 有且仅有一个$b = x + iy$满足$x > 0, y \ge 0$; 它称作是规范(normalized)的. 例如, $1 + i$的四个联合$\pm 1 \pm i$中, $1 + i$是唯一的规范的Gauss整数. 从几何意义上看, 平面上对应于$a$的联合的点, 可以通过点$a$绕着0分别旋转$\frac{\pi n}{2}$ (n = 0, 1, 2, 3)角度得到; 其中的规范整数或者在正实数轴上, 或者在第一象限.

范数大于1的Gauss整数称为Gauss素数, 如果它除了单元以及它的联合之外没有其它因子. 一个等价的说法是$q$为Gauss素数, 如果它既不是0也不是单元, 并且没有一个因子其范数大于1而且小于$N(q)$. 通常意义上的普通的素数(参考第IV节)将被称作是有理素数 (或者常规素数). 如果$q$是Gauss整数, $N(q)$是有理素数, 那么$q$是Gauss素数; 正如我们将看到的, 它的逆命题不成立. Gauss素数的联合还是Gauss素数; 这些数中有且仅有一个在上述意义上是规范的. 如果$q$是Gauss素数, $\bar{q}$也是Gauss素数. $a$为一个既不是0也不是单元的Gauss整数, 它的最小范数大于1的因子必然是Gauss素数.

Gauss把Gauss整数引入数论之中, 他发现Gauss整数可以唯一地分解为Gauss素数的乘积, 类似于通常的整数. 下面会给出这个证明; 证明方法类似第2, 3, 4, 9节. 我们首先证明一个类似第2, 9节的引理.

引理13.1 $a$, $b$为Gauss整数, $b \neq 0$, 那么存在$b$的倍数$bq$使得

\[N(a – bq) \le \frac{1}{2}N(b).\]

对于任意实数$t$, 存在一个最大的整数$m \le t$, 有$m \le t < m + 1$; 对于离$t$最近的整数$m’$, 依$t – m$是否$\le m + 1 – t$而分别等于$m$或者$m + 1$; 于是有$|t – m’| \le \frac{1}{2}$. 令$z = x + iy$为任意的复数; $m$为最接近$x$的整数, $n$为最接近$y$的整数, $q = m + in$. 于是$q$是Gauss整数, 我们有

\[N(z – q) = (x – m)^2 + (y – n)^2 \le \frac{1}{2}.\]

对$z = \frac{a}{b}$应用此不等式, 这里$a$, $b$是引理中定义的Gauss整数. 于是按照如上方法构造的Gauss整数$q$满足条件.

定理13.2 $\mathfrak{M}$为非空的Gauss整数集, 对加法下封闭, 于是若$a \in \mathfrak{M}$, 则所有的$a$的倍数都属于$\mathfrak{M}$. 那么$\mathfrak{M}$是由某个Gauss整数$d$的所有倍数组成, $d$在相差一个单元因子的情形下是唯一确定的.

若$\mathfrak{M} = \{0\}$, 定理成立, 只要取$d = 0$. 否则, 选择最小范数大于0的元素$d \in \mathfrak{M}$. 若$a \in \mathfrak{M}$, 我们应用引理有$a = dq + r$, $N(r) \le \frac{1}{2}N(d)$. 因而$r = a – dq \in \mathfrak{M}$, 这样会和$d$的定义产生矛盾, 除非$r = 0$, $a = dq$. 至于唯一性, 假设$d’$具有和$d$一样的性质, $d$和$d’$必然是相互的倍数, 因此$d’$是$d$的联合.

和在第2, 9节一样, 我们可以对于给定的Gauss整数$a, b, \ldots, c$的所有的线性组合$ax + by + \cdots + cz$(这里$x, y, \ldots, z$是任意Gauss整数)的集合应用定理8.1, 并由此定义最大公约数$(a, b, \ldots, c)$; 如果我们规定它必须为规范的, 那么它是唯一确定的. 如果它等于1, 我们称$a, b, \ldots c$是互素的. 我们现在可以重复第3, 4节的主题了, 只是定理4.2的证明是对整数$a$进行归纳, 而现在需要对$N(a)$进行归纳. 结论是

定理13.3 每一个非零的Gauss整数能本质上唯一地表示为单元和Gauss素数的乘积.

在这里“本质上唯一”是以下意义. 令

\[a = eq_1q_2 \cdots q_r = e’ q_1′ q_2′ \cdots q_s’\]

为两种乘积表示方式($a \neq 0$), 这里$e$, $e’$是单元, $q_j$和$q_k’$都是Gauss素数. 定理说明$r = s$, 并且可以通过重新排列$q_k’$使得$q_j’$是$q_j$的联合, $1 \le j \le r$; 若$a$为单元, 则$r = 0$. 如果规定$a$的素因子是规范的, 那么乘积在不要求因子的顺序的情形下是唯一确定的.

常规整数也是Gauss整数; 为了把它们分解为Gauss素数的乘积, 只需要分解为常规素数即可.

定理13.4 $p$是奇有理素数. 它或者是一个Gauss素数, 或者是某个Gauss素数$q$的范数; 在后一种情形, $p = q \bar{q}$, $q$, $\bar{q}$不是联合, $p$除了$q$, $\bar{q}$以及它们的联合之外没有Gauss素数因子.

如定理8.2, 令$p = eq_1q_2 \cdots q_r$. 对于范数, 我们发现$p^2$等于$N(q_j)$的乘积. 若有某个$N(q_j)$等于$p^2$, 那么$r = 1$, $p = eq_j$, $p$本身就是Gauss素数. 否则每一个$N(q_j)$等于$p$, 我们有$p = N(q) = q\bar{q}$, $q$为Gauss素数; $\bar{q}$也是Gauss素数. 令$q = x + iy$; 如果$\bar{q}$是$q$的联合, 那么它等于$\pm q$或者$\pm iq$; 这样或者有$y = 0$, $p = x^2$, 或者有$x = 0$, $p = y^2$, 或者有$y = \pm x$, $p = 2x^2$; 但是$p$是奇素数, 因而这是不可能的.

对于$p = 2$, 它的分解方式为

\[2 = N(1 + i) = (1 + i)(1 – i) = i^3(1 + i)^2;\]

它的唯一的规范的素因子为$1 + i$.

定理13.5 $p$是奇有理素数. 那么依$p$和3或者1模4同余, $p$分别是一个Gauss素数, 或者是某个Gauss素数的范数.

如果它是$q = x + iy$的范数, 我们有$p = x^2 + y^2$, 这里的$x$, $y$必然是一为奇数, 一为偶数. 平方数$x^2$和$y^2$有一个模4和1同余, 而另一个模4和0同余, 因此$p \equiv 1 (\mod 4)$. 反过来, 定理11.2的推论说明$-1$是模$p$二次剩余, 因而存在$x$使得$x^2 + 1$是$p$的倍数. 而$x^2 + 1 = (x + i)(x – i)$, 如果$p$是Gauss素数, 这意味着$p$或者整除$x + i$, 或者整除$x – i$. 很显然这是不可能的.

推论13.6 每一个Gauss素数或者是$\pm 1 \pm i$, 或者是和3模4同余的有理素数的联合, 或者它的范数是和1模4同余的有理素数.

事实上, 每一个Gauss素数$q$必然整除其范数$q \bar{q}$的某个有理素数因子$p$; 当$p$是奇数时应用定理13.4, 以及当$p = 2$时使用上述备注, 我们可以得到我们的结论.

推论13.7 有理素数可以表示为两个平方数之和的充要条件为它等于2或者和1模4同余.

事实上, 若$p = x^2 + y^2$, 由于$p$有因子$x \pm iy$, 它不可能是Gauss素数.

有必要指出这是一个已经在一个更大的环即Gauss整数中证明过的结论.

习题

1. 如果一个正整数能够表示为形式$n^2a$, 这里$a > 1$并且无平方因子, 证明它能够表示为两个平方数之和的充要条件是$a$的每一个奇素数因子满足$\equiv 1 (\mod 4)$. 如果是这样, $a$有$r$个素因子, 找出把$a$表示为两个平方数之和的方式个数.

2. 如果一个整数是两个互素的平方数之和, 证明该整数的每一个因子也是两个互素的平方数之和.

3. 使用复数在平面上的点的表示, 证明, 如果$z$是任意的复数, 那么存在Gauss整数$q$到$z$的距离$\le \frac{\sqrt{2}}{2}$; 证明至少存在一个Gauss整数到$z$的距离最小, 同时最多不会超过4个具有这样的性质. (提示: 参考第XIII节的引理的证明)

4. 和常规整数一样的定义在Gauss整数中的同余关系$f(m)$, 对于所有的Gauss整数$m \neq 0$, $f(m)$等于不同的模$m$Gauss同余类的个数; 证明对任意的非零Gauss整数$m$, $n$, $f(mn) = f(m) f(n)$. (提示: 在模$m$的同余类中选择代表$x_i$, $1 \le i \le f(m)$, 在模$n$的同余类中选择代表$y_j$, $1 \le j \le f(n)$, 然后证明$x_i + my_j$是模$mn$的同余类的代表).

5. 使用习题13.4证明对每一个$m$, $f(m) = m\bar{m}$. (提示: 对$m$和$n = \bar{m}$应用习题13.4).

6. 证明, $m$是范数大于1的Gauss整数, 模$m$的Gauss同余类组成一个域的充要条件是$m$是Gauss素数. 证明, 如果$N(m)$是有理素数, 每一个Gauss整数和某个有理整数模$m$同余.

7. $\omega = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$, 证明复数$x + y\omega$(其中$x$, $y$为常规整数)组成环$R$, 其中单元为$\pm 1$, $\pm \omega$, $\pm \omega^2$. 证明, 如果$z$是一个任意的复数, 存在环$R$中的元素$q$使得$N(z – q) \le \frac{1}{3}$. (提示: 参考习题13.3). 因此对环$R$证明定理13.1的一个类似结论, 以及唯一分解定理.

8. 使用习题13.7证明大于3的有理素数可以表示为$x^2 + xy + y^2$($x$, $y$为整数)的充要条件是它$\equiv 1 (\mod 3)$.