这个引言非常值得一看, 里面给出了为什么需要扩展Riemann积分的原因. 鉴于此, 这里几乎全文录下.

首先回顾一下Riemann积分的历史和定义, 下面给出Riemann积分的定义和条件.

定义1. 设$f(x)$是定义在$[a, b]$上的有界函数. 作分划

$$\Delta: a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b,$$

且令

$$\left.\begin{aligned}
M_i &= \sup\{f(x) : x_{i-1} \le x \le x_i \}, \\
m_i &= \inf\{f(x) : x_{i-1} \le x \le x_i \}, \\
\end{aligned}\right.
(i=1,2,\cdots, n)
$$

$$\overline{S}_{\Delta} = \sum_{i=1}^{n}{M_i(x_i – x_{i-1})}, \quad \underline{S}_{\Delta} = \sum_{i=1}^{n}{m_i(x_i – x_{i-1})}.$$

我们考虑Darboux上积分与下积分:

$$\overline{\int}_{a}^{b}{f(x)dx} = \inf_{\Delta}\overline{S}_{\Delta}, \quad \underline{\int}_{a}^{b}{f(x)dx} = \sup_{\Delta}\underline{S}_{\Delta}.$$

如果这两个值相等, 则称$f(x)$在$[a, b]$上是Riemann可积的. 简记为$f \in R[a, b]$, 记其公共值为

$$\int_{a}^{b}{f(x)dx},$$

且称它为$f(x)$在$[a, b]$上的Riemann积分.

若令$|\Delta| = \max\{x_i – x_{i-1}: i = 1, 2, \cdots, n\}$, 则$f(x)$在$[a, b]$上是Riemann可积的充分且必要条件是:

$$\lim_{|\Delta| \rightarrow 0}{\sum_{i=1}^{n}{(M_i – m_i)(x_i – x_{i-1})}} = 0.$$

Riemann积分在以下几个方面存在缺陷: (1) 可积函数的连续性; (2)极限与积分次序交换问题; (3) 关于微积分基本定理; (4) 可积函数空间的完备性.

(1)可积函数的连续性

前面指出的Riemann可积函数的充要条件说明可积函数必须是差不多连续的(可以证明必须是几乎处处连续的函数): 也就是说振幅$(M_i – m_i)$不能缩小的那些相应项的子区间的长度的总和可以很小.

(2) 极限与积分次序交换问题

在一般的微积分教科书中, 都是用函数列一致收敛的条件来保证极限运算与积分运算的次序可以交换, 这一要求过分强了.

例1. 设$f_n(x) = x^n$($0 \le x \le 1$). 它是点收敛而不是一致收敛于

$$f(x) = \left\{\begin{aligned}
0, &\quad 0 \le x < 1, \\
1, &\quad x = 1
\end{aligned}\right.$$

但仍有

$$\lim_{n \rightarrow \infty}{\int_{0}^{1}{f_n(x)dx}} = 0 = \int_{0}^{1}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{\lim_{n \rightarrow}{f_n(x)}dx}.$$

在Riemann积分意义下, 存在下述有界收敛定理(其中一个证明参考Amer.Math.Monthly,78,1986)

定理(有界收敛定理) 设

(i)$f_n(x)$($n=1,2,\cdots$)是定义在$[a, b]$上的可积函数;

(ii) $|f_n(x)| \le M$($n = 1, 2, \cdots, x \in [a, b]$);

(iii) $f(x)$是定义在$[a, b]$上的可积函数, 且有

$$\lim_{n \rightarrow \infty}{f_n(x)} = f(x), \quad x \in [a, b],$$

则

$$\lim_{n \rightarrow \infty}{\int_{a}^{b}{f_n(x)dx}} = \int_{a}^{b}{f(x)dx}.$$

下面这个例子表明: 即使函数列是渐升的也不能保证其极限函数的可积性.

例2. 设$r_n$是$[0, 1]$中前提有理数列, 作函数列

$$f_n(x) = \left\{
\begin{aligned}1, \quad & x = r_1, r_2, \cdots, r_n, \\
0, \quad & \text{其他}
\end{aligned}\right.
(n = 1, 2, \cdots)$$

显然有$f_1(x) \le f_2(x) \le \cdots \le f_n(x) \le f_{n+1}(x) \le \cdots \le 1$,且有

$$\lim_{n \rightarrow \infty}{f_n(x)} = f(x) = \left\{
\begin{aligned}
1, \quad & x\text{为有理数}, \\
0, \quad & x\text{为无理数}.
\end{aligned}\right.$$

这里得到的$f(x)$不是Riemann可积的.

命题1. 若有定义在$[a, b]$上的可积函数列$f_n(x)$, $g_n(x)$, 而且满足$|f_n(x)| \le M$, $|g_n(x)| \le M$, $n=1, 2, \cdots$, $x \in [a, b]$,以及

$$\lim_{n \rightarrow \infty}{f_n(x)} = f(x), \quad \lim_{n \rightarrow \infty}{g_n(x)} = f(x), \quad x \in [a, b],$$

则必有

$$\lim_{n \rightarrow \infty}{\int_{a}^{b}{f_n(x)dx}} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\int_{a}^{b}{g_n(x)dx}}.$$

但$f(x)$之积分仍然可以不存在, 上述结论说明, 上述积分之极限值并不依赖于$f_n(x)$本身, 而依赖于$f(x)$. 既然如此, 就不妨定义其积分为

$$\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\int_{a}^{b}{f_n(x)dx}}.$$

这说明Riemann积分的定义太窄了.

(3)关于微积分基本定理

积分和微分之间的联系乃是微积分学的中枢: 设$f(x)$在$[a, b]$上是可微函数且$f'(x)$在$[a, b]$上是可积的, 则有

$$\int_{a}^{x}{f'(t)dt} = f(x) – f(a), \quad x \in [a, b].$$

也就是说$f'(x)$通过积分又获得了$f(x)$. 这里面要求$f'(x)$必须是可积的. 然而早在1881年, V.Volterra就做出了一个可微函数, 其导函数还是有界的, 但导函数不是Riemann可积的. 这就大大限制了微积分基本定理的使用范围.

命题2. $f’ \in R([a, b])$的充分必要条件是, 存在$g \in R([a, b])$, 使得

$$f(x) = f(a) + \int_{a}^{x}{g(t)dt}.$$

如果$f’ \in R([a, b])$, 使用基本定理可知上述等式成立, 反过来, 首先需要证明$f$可微, 然后证明$f’ \in R([a, b])$.

(4) 可积函数空间的完备性

在积分理论中, 可积函数类用距离

$$d(f,g) = \int_{a}^{b}{|f(x) – g(x)|dx}$$

或

$$d(f,g) = \{ \int_{a}^{b}{|f(x) – g(x)|^2dx} \}^{1/2}$$

作成距离空间是完备的这一事实具有重要意义. 可是在Riemann积分先它不是完备的. 下面给出一个例子.

令$\{r_n\}$是$(0, 1)$中有理数的全体, 设$I_n$是$[0, 1]$中的开区间, $r_n \in I_n$, $I_n < 1 / 2^n$($n=1,2,\cdots$), 并作函数

$$f(x) = \left\{\begin{aligned}
1, \quad &\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_n}, \\
0, \quad &[0,1]\backslash \bigcup_{n=1}^{\infty}{I_n}.
\end{aligned}\right.$$

易知$f(x)$在$[0,1]\backslash\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_n}$内的点上是不连续的, 它不是Riemann可积的, 且不存在Riemann可积函数$g(x)$, 使得$d(f,g) = 0$, 但若作函数列

$$f_n(x) = \left\{\begin{aligned}
1, \quad &\bigcup_{k=1}^{n}{I_k}, \\
0, \quad &[0,1]\backslash \bigcup_{k=1}^{n}{I_k}.
\end{aligned}\right.$$

则$f_n \in R([0,1])$($n=1,2,\cdots$),且有

$$\lim_{n \rightarrow \infty m \rightarrow \infty}{d(f_n, f_m)} = 0,$$

以及$f_n(x) \rightarrow f(x)$($n \rightarrow \infty$), 故$R([0, 1])$按上述距离$d$是不完备的.

下面给出了我们对积分理论的一个简要认识过程:

首先需要认识到积分问题与函数的下方图形—点集的面积如何界定和度量有关.

19世纪80年代, G.Peano提出点集内外容度(长度,面积概念的推广)的观念,

1892年, C.Jordan扩展了G.Peano的工作, 建立起所谓Jordan可测集的理论, 且模拟Riemann积分的做法, 给出了新的积分思路. 然而, Jordan的测度论存在着严重的缺陷, 如存在不可测的开集, 有理数集也不可测等.

E.Borel在1898年的著作中引进了现称之为Borel集的概念. 他从开集出发构造了一个$\sigma$-代数, 从而使他的测度理论具有可数可加的性质(这个对于积分论特别重要). 但是, Borel并没有把他的测度论与积分理论联系起来.

1902年, H.L.Lebesgue在”积分, 长度与面积”的博士论文中所阐述的思想成为古典分析过渡到近代分析的转折点. 他证明了有界Lebesgue可测集类构成一个$\sigma$-环; Lebesgue测度是可数可加且是平移不变的; 也确实存在着非Jordan可测和非Norel可测的Lebesgue可测集, 并建立了Lebesgue可测集与Borel可测集的关系. 他还断定: 有非Lebesgue可测集存在(1905年Vitali给出一例).

1914年F.Riesz进一步升华测度论思想, 放弃了在$\sigma$-环上建立测度的思想, 而直接从积分出发来导出整个理论, 且将其定义在环上. 同一年, C.Caratheodory进一步发展了外测度理论, 导致所谓测度的完备化, 特别是做出了从环到$\sigma$-环的扩张.

对积分论做出重要贡献的, 还有Stieltjes, Radon等数学家. 使积分理论跳出欧氏空间背景并将其建立在$(X, \mathscr{R}, \mu)$上的首要工作是属于Frechet(1915年)的, 而用更加一般的观点来考察积分的应归功于Daniell局部紧空间上的积分论.

本书主要学习Lebesgue理论. 它的主要思想如下:

对于定义在$[a, b]$上的有界正值函数, 为使$f(x)$在$[a, b]$上可积, 按照Riemann的积分思想, 必须使得在划分$[a, b]$后, $f(x)$在多数小区间$\Delta{x_i}$上的振幅足够小, 这迫使具有较多激烈振荡的函数被排除在可积函数类外. 对此, Lebesgue提出, 不从分割区间入手, 而是从分割函数值域着手, 即任给$\delta > 0$,作

$$m = y_0 < y_1 < \cdots < y_{i-1} < y_i < \cdots < y_n = M,$$

其中, $y_i – y_{i-1} < \delta$, $m$, $M$是$f(x)$在$[a, b]$上的下界与上界, 并作点集

$$E_i = \{ x: y_{i-1} \le f(x) < y_i\}, \quad i = 1, 2, \cdots, n.$$

这样, 在$E_i$上, $f(x)$的振幅就不会大于$\delta$. 再计算

$$|I_i| = \text{“矩形面积”} = (\text{高})y_{i-1} \times \text{“底边长度”}|E_i|,$$

并作和

$$\sum_{i=1}^{n}{y_{i-1}|E_i|} = \sum_{i=1}^{n}{|I_i|}.$$

它是$f(x)$在$[a, b]$上积分(面积)的近似值. 然后, 让$\delta \rightarrow 0$, 且定义

$$\int_{[a, b]}{f(x)dx} = \lim_{\delta \rightarrow 0}{\sum_{i=1}^{n}{y_{i-1}|E_i|}}.$$

(如果此极限存在)也就是说, 采取在$y$轴上的分划来限制函数值变动的振幅, 即按函数值的大小先加以归类. Lebesgue对这一设计作了生动的譬喻: 假定我欠人家许多钱, 现在要归还. 此时, 应先按照钞票的票面值的大小分类, 再计算每一类的面额总值, 然后相加, 这就是我的积分思想; 如果不管面值大小如何, 而是按某种先后次序(如顺手递出)来计算总数, 那就是Riemnn积分的思想.

按照Lebesgue的积分构思, 会带来一系列的新问题, 主要是需要各种集合的测度问题. 首先, 分割函数值范围后, 所得的点集

$$E_i = \{ x: y_{i-1} \le f(x) < y_i\}, i=1,2, \cdots, n$$

不一定是一个区间, $[a, b]$也不一定是互不相交的有限个区间的并, 而可能是一个分散而杂乱无章的点集及其并集. 因此, 所谓”底边长度”$|E_i|$的说法是不清楚的, 即如何度量其”长度”以及是否存在”长度”的方案, 并称点集$E$的”长度”为测度, 记为$m(E)$. 当然, 这一方案必须满足一定条件, 才符合常理. 如$E = [0, 1]$时, 应有

$$m([0, 1]) = 1;$$

又如$E_1 \subset E_2$, 应满足

$$m(E_1) \le m(E_2);$$

特别是对$E_n$($n=1,2,\cdots$)且$E_i \cap E_j = \emptyset$($i \neq j$)时, 希望有

$$m(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_n}) = \sum_{n=1}^{\infty}{m(E_n)}.$$

然而, 这些限制使人们无法设计出一种测量方案, 能使一切点集都有度量. 因此, 欲使Lebesgue积分思想得以实现, 必须要求分割得出的点集$E_i$($i=1,2,\cdots, n$)是可测量的—可测集. 这一要求能否达到, 与所给函数$y = f(x)$的性质有关. 从而规定: 凡是对任意$t \in R^1$, 点集

$$E = \{x: f(x) > t\}$$

均为可测集时, 称$f(x)$为可测函数. 这就是说, 积分的对象必须属于可测函数范围.

总的来说, Riemann积分要求可积函数是几乎处处连续的，这个要求比较高, 而Lebesgue积分把可积函数放宽到可测函数类。要研究Lebesgue积分，就要研究可测函数，而要研究可测函数，就需要了解点集的可测性。本书就按照这一顺序来讲解的。 当然, Lebesgue也还是存在不足之处的, 这里不说明了.