$R^n$空间从两方面定义: 代数的和拓扑的.

代数: 是一个向量空间

拓扑: 使用距离空间, 通过定义每个向量的模引入距离.

注意分析中极限, 连续等概念和拓扑中的开集, 闭集等概念相关. 下面讨论的都是拓扑性质, 至于$R^n$中的代数性质, 见线性代数.

在$n$维欧氏空间中, 取向量$x$的模为$|x| = (\xi_1^2 + \cdots + \xi_n^2)^{1/2}$.

概念1: 点集$E$的直径 $\text{diam}(E) = \sup\{ |x – y|: x, y \in E \}$, 如$\text{diam}(E) < \infty$, 称$E$为有界集.

概念2: 开球: $\{ x \in R^n : |x – x_0| < \delta\}$; 闭球: $\{ x \in R^n : |x – x_0| \le \delta \}$; 球面: $\{ x \in R^n : |x – x_0| = \delta \}$.

概念3: 开矩体: $I = (a_1, b_1) \times \cdots \times (a_n, b_n)$, 体积$|I| = \prod\limits_{i=1}^{n}{(b_i – a_i)}$. $\text{diam}(I) = [\sum{(b_i – a_i)^2}]^{1/2}$.

概念4: 收敛. 序列$x_k \in R^n$, 存在$x \in R^n$, $\lim|x_k – x| = 0$, 则称$x_k$收敛于$x$.

概念5: 极限点. $E \subset R^n$, $x \in R^n$, 若存在互异点列$x_k \in E$, 使得$\lim|x_k – x| = 0$, 则称$x$为$E$的极限点, $E$的极限点的全体记为$E’$, 称为$E$的导集.

与此相对应的是孤立点: 点$x \in E$, 若不是$E$的极限点, 则称之为$E$的孤立点, 即$\exists \delta > 0$, $(B(x, \delta) \backslash \{x\}) \cap E = \emptyset$.

下面应该了解这些概念的更深刻的关系:

(1) Cauchy-Schwarz不等式, $x = (\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n)$, $y = (\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n)$, 则有

\[(\xi_1\eta_1 + \xi_2\eta_2 + \cdots + \xi_n\eta_n) \le (\xi_1^2 + \xi_2^2 + \cdots + \xi_n^2)(\eta_1^2 + \eta_2^2 + \cdots + \eta_n^2)\]

证明可以考虑二次方程: $(\xi_1x + \eta_1)^2 + (\xi_2x + \eta_2)^2 + \cdots + (\xi_nx + \eta_n)^2 = 0$.

(2)若$E \subset R^n$, 则$x \in E’$, 当且仅当对任意的$\delta > 0$, 有$(B(x, \delta) \backslash \{x\}) \cap E \neq \emptyset$.

证明: 若$x \in E’$, 则$\exists \{x_k\} \subset E$, 使$\lim{|x_k – x|} = 0$, $\forall \delta > 0$, $\exists N$, 当$n > N$时, $|x_n – x| < \delta$. 即$(B(x, \delta) \backslash \{x\}) \cap E \neq \emptyset$.

反过来, $\forall \delta > 0$, $(B(x, \delta) \backslash \{x\}) \cap E \neq \emptyset$, 则对于$\delta = 1$, 可以取$x_1 \in (B(x, \delta) \backslash \{x\}) \cap E$. 对$\delta = \min(\frac{1}{2}, d(x, x_1))$, 取$x_2 \in (B(x, \delta) \backslash \{x\}) \cap E$, 这是存在的.

一般的, 对于已有的点$x_1, x_2, \cdots, x_n$, 我们对$\delta = \min(\frac{1}{2^n}, d(x, x_n))$, 取点$x_{n+1} \in (B(x, \delta) \backslash \{x\}) \cap E$, 由此构成的序列$\{x_n\}$显然互不相同, 且$|x_n – x| < \frac{1}{2^n} \rightarrow 0$, 即$x$为极限点.

(3) 设$E = \{\sqrt{m} – \sqrt{n}: m, n \in N\}$, 则$E’ = R^1$.

$\forall x \in R^1$, 取$x_n = \sqrt{[(x + n)^2]} – \sqrt{n^2}$, 则有$\sqrt{(x+n)^2-1} – n < x_n < x$, 可以证明$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{|x_n – x|} = 0$.

\[x – \sqrt{(x + n)^2 – 1} + n = (x+n) – \sqrt{(x + n)^2 – 1} = \frac{1}{x + n + \sqrt{(x + n)^2 – 1}}.\]

(4) $(E_1 \cup E_2)’ = E_1′ \cup E_2’$, 这是导集关于并的运算.

(5) Bolzano-Weierstrass定理. $R^n$中任一有界无限点集$E$至少有一个极限点.

$R^1$中的Bolzano-Weierstrass定理是实数系统的基础, 在分析中有极为重要的地位.

$E$有界说明可以用一个矩体包住$E$, 即$E \subset I1 = (a_1, b_1) \times \cdots \times (a_n, b_n)$, 把$I_1$平均分成$2^n$部分, 即把$(a_i, b_i)$平分, 不妨设为$(a_i^{(1)}, b_i^{(1)})$, 则$I_2 = (a_1^{(1)}, b_1^{(1)}) \times \cdots \times (a_n^{(1)}, b_n^{(1)})$, 这里$I_2$中包含$E$的无穷多个点, 如此继续, 可以每个$I_n$包含$E$的无穷多个点. 而$I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n \supset \cdots$, 由此可以选择出一系列点$\{x_n\}$, 而存在$x$属于所有的$I_n$, $x_n \rightarrow x$, 这个证明了闭区间套定理.

书中的证明使用了$R^1$的Bolzano-Weierstrass定理: 先取$\{x_k\}$, 然后取出第1维, 接着是第2维, …, 最后是第$n$维, 每一维的$x_k^i$都是收敛的.

严格说来, 应该像书中那样.