这一节只有两个概念: 点和点集之间的距离, 点集和点集之间的距离, 他们都是利用了点和点之间的距离这一概念, 另外, 距离应该有最短性, 于是有

\[\begin{gather*}
d(x, E) = \inf\{|x – y| : y \in E\} \\
d(E_1,E_2) = \inf\{|x – y| : x \in E_1, y \in E_2\}
\end{gather*}\]

(I) $A \cap B = \emptyset$不能推出$d(A, B) \neq 0$.

(II) $d(A, B) \neq 0$可以推出$A \cap B = \emptyset$.

(III) $x \notin E$, 但$d(x, E) = 0$, 则必有$x \in E’$.

对于闭集, 有一些特殊之处:

1. 若$F$是非空闭集, 且$x_n \in R^n$, 则存在$y_0 \in F$, 使得$|x_0 – y_0| = d(x_0, F)$.

令$f(x) = |x_0 – x|$, $x \in F$, 则$f(x)$是$F$上的连续函数, 接下来需要找一个有界集合. 以$x_0$为中心往外扩, $\overline{B(x_0, \delta)} \cap F \neq \emptyset$, 这个就是.

2. 若$E$是$R^n$中非空点集, 则$d(x, E)$作为$x$的函数在$R^n$上一致连续.

一致连续: $\forall \epsilon > 0$, $\exists \delta$, $|x – y| < \delta$, 则$|f(x) – f(y)| < \epsilon$.

$|d(x, E) – d(y, E)| \le |x – y|$, 证明使用$d(x, y)$的$\inf$定义.

3. 若$F_1, F_2$是$R^n$中的两个非空闭集, 且其中至少有一个是有界的, 则存在$x_1 \in F_1$, $x_2 \in F_2$, 使$|x_1 – x_2| d(F_1, F_2)$.

这只是前一道题的推论.

4. 若$F_1$, $F_2$是$R^n$中两个互不相交的非空闭集, 则存在$R^n$上的连续函数$f(x)$, 使得

(1) $0 \le f(x) \le 1$, $x \in R^n$;

(2) $F_1 = \{x | f(x) = 1\}$, $F_2 = \{x | f(x) = 0\}$.

首先$d(x, F_2)$满足$F_2 = \{x | f(x) = 0\}$, 当$y \in 1 + d(x, F_1)$时, 满足$F_1 = \{x | f(x) = 1\}$, 在两者之间变化, $f(t) = td(x, F_2) + (1-t)d(x, F_1)$. $0 < t < 1$

$d = d(F_1, F_2)$

$f(t) = d(F_1, F_2)d(x, F_2) + (1 – d(F_1, F_2))d(x, F_1)$.

$f(x) = \frac{d(x, F_2)}{d(x, F_1) + d(x, F_2)}$

5. 连续函数延拓定理: 若$F$是$R^n$中的闭集, $f(x)$是定义在$F$上的连续函数, 且$|f(x)| \le M$, $x \in F$, 则存在$R^n$上的连续函数$g(x)$满足$g(x) \le M$, $g(x) = f(x)$, $x \in F$.

函数延拓在数学中极为重要, 在泛函分析中也有一个关于线性泛函延拓的问题, 在复分析中也会有解析函数延拓的问题.

证明见书本, 因为目前想不出如何证明, 也不知道书中的证明是如何想出来的, 为什么要这样分成三个集合? 这个函数列的构造是如何想到的?

对于这种函数的构造, 首先可考虑逐步逼近书中的证明, 实际上是一个迭代的过程.

对于级数和, 要保证连续, 目前只能是要求一致收敛, 对于一致收敛, 最简单的判别法则是受限级数, $|f_n(x)| \le g_n$, $\sum{g_n}$收敛, 则$\sum{f_n(x)}$一致收敛.