首先引进外测度的概念, 这是从$R^n$的开矩体开始的, 如果是公理化方法, 那么可以应用于抽象空间. 接着用外测度定义集合的可测性, 后面讨论了可测集和Borel集的关系, 同时讨论了不可测集.
对于测度, 贯穿始终的是这样几个性质:
1. $m(E) \ge 0$;
2. 可合同的点集具有相同的测度;
3. 令$I = (a, b)$, 则$m(I) = b – a$;
4. 若$E_1, E_2, \cdots, E_n, \cdots$是互不相交的点集, 则$m(\sum{E_i}) = \sum{m(E_i)}$.
其中(4)最为重要, 称为可数可加性, 实际上表明极限与测度之间的可交换性, 如果把测度认为是面积, 体积的扩展, 而体积之类可用积分表示, 这可以认为是极限与积分的可交换性.
点集的Lebesgue外测度
这一节只有一个概念: 外测度.
对于$R^n$空间来说, 外测度可以显式定义: 利用开矩体. 对于抽象空间来说, 不存在所谓开矩体, 而是使用公理化方法来定义的.
外测度: $E \subset R^n$, $\{I_k\}$是可数个开矩体, $E \subset \cup{I_k}$, 称之为$E$的L-覆盖.
\[m^*(E) = \inf\{\sum|I_k| : \{I_k\}\text{为}E的\text{L-覆盖} \},\]
注意: $|I_k|$是有定义的, $|I_k| = \prod_{1}^{n}(b_i – a_i)$, $I_k = (a_1, b_1) \times \cdots \times (a_n, b_n)$.
在这里$m^*(E)$可以取$+\infty$, 它是肯定存在的. 因为$|I_k| \ge 0$.
还有一个注意点: 这里$I_k$的个数可以是有限, 也可以是可数的, 如果只能是有限, 基本上没有什么用, 书中讨论了有理点集的情形, 必须有限的话, 这个集合将是不可测的.
(1) $m^*(E) \ge 0$, 这是明显的.
(2) $I = (a, b)$, $m^*(I) = b – a$, 这也是可以证明的.
首先, $I$本身是$I$的一个覆盖, 于是$m^*(I) \le |I| = b – a$, 另一方面, 对于$I$的任一L-覆盖, $\sum{|I_k|} \ge |I|$, 于是$m^*(I) \ge |I|$, 获证.
(3) 可合同的. 讨论在后面.
(4) $\sum{m^*(E_k)} = m^*(\sum{E_k})$是不成立的, 它只能做到:
\[m^*(\sum{E_k}) \le \sum{m^*(E_k)}.\]
下面讨论外测度的一些性质:
1. $m^*(E) \ge 0$, $m^*(\emptyset) = 0$;
2. 单调性: 若$E_1 \subset E_2$,则$m^*(E_1) \le m^*(E_2)$;
设$\{I_k\}$为$E_2$的L-覆盖, 则$\{I_k\}$同时也是$E_1$的L-覆盖, 即
\[m^*(E_1) \le \sum{|I_k|}\]
于是
\[m^*(E_1) \le \inf\{\sum{|I_k|}\} = m^*(E_2).\]
3. 次可加性: $m^*(\cup{E_n}) \le \sum{m^*(E_n)}$. 这里用$\cup$代替$\sum$来表示集合运算.
$\forall \epsilon > 0$, 设$I_{nk}$为$E_n$的L-覆盖, 且使$m^*(E_n) \ge \sum{|I_{nk}|} – \epsilon/2^n$, 则$\{I_{nk}\}_{n,k=1}^{\infty}$为$\cup{E_n}$的L-覆盖, 而且有:
\[\begin{aligned}
m^*(\cup{E_n}) \le \sum_{n,k}{|I_{nk}|} &= \sum_{n}{\sum_{k}{|I_{nk}|}} \le \sum_{n}{(m^*(E_n) + \frac{\epsilon}{2^n})}\\
&= \sum{m^*(E_n)} + \epsilon
\end{aligned}\]
由此可得: $m^*(\cup{E_n}) \le \sum{m^*(E_n)}$.
4. 若$E \subset R^n$为可数点集, 则$M^*(E) = 0$. 对于$\{x_k\}$, $\forall \epsilon > 0$, 用$(x_k – \epsilon/2^{k+1}, x_k + \epsilon/2^{k+1})$覆盖之.
有理点集外测度为0, 且处处稠密.
[0, 1]中的Cantor集$C$的外测度为0, $C = \cap{F_n}$, $F_n$为$2^n$个长度为$3^{-n}$的闭区间之并集, 注意这是一个不可数集.
5. 令人遗憾的是外测度只能满足次可加性, 即使$E_1 \cap E_2 = \emptyset$, 仍可能有$m^*(E_1 \cup E_2) < m^*(E_1) + m^*(E_2)$, 不过如果把条件再加强: $d(E_1, E_2) > 0$, 则有$m^*(E_1 \cup E_2) = m^*(E_1) + m^*(E_2)$.
这个结论的证明需要一个引理:
设$E \subset R^n$, $\delta > 0$, 令$m_{\delta}^*(E) = \inf\{\sum{|I_k|} : \cup{I_k} \supset E, \text{每个开矩体}I_k\text{的边长}<\delta \}$, 则$m_{\delta}^*(E) = m^*(E)$.
首先, $d(E_1, E_2) > 0$意味着什么呢? 意味着我们可以用两个开集$G_1$, $G_2$分别包住$E_1$, $E_2$(拓扑空间中一些所谓的分离公理), 我们就有可能把$E_1 \cup E_2$的L-覆盖分离成两部分, 一部分覆盖$E_1$, 另一部分覆盖$E_2$, 这样自然就是相等的.
引理的证明见课本, 不过有一点不是很了解: 为什么要引入$\lambda$($1 < \lambda < 2$), 是不是把$I_k$分解成$l(k)$个互不相交的开矩体, 是不可能有$I_k = \bigcup_{i=1}^{l(k)}{I_{k,i}}$的, 所以把$I_{ki}$放大一点.
这个引理就保证了前面把L-覆盖分成两组的可能性.
6. 平移不变性: 这个结论对于测度论极为重要, 因为平移是一种合同变换: 设$E \subset R^n$, $x_0 \in R^n$, $E+\{x_0\} = \{x + x_0 : x \in E\}$, 则$m^*(E + \{x_0\}) = m^*(E)$.
证明极为简单, $\{I_k\}$为$E$的L-覆盖, 则$\{I_k + \{x_0\}\}$是$E + \{x_0\}$的L-覆盖, 于是$m^*(E + \{x_0\}) \le m^*(E)$, 另一方面, 对于$E + \{x_0\}$移动$-x_0$, 则有$m^*(E) \le m^*(E + \{x_0\})$.
外测度的抽象定义使用公理化方法, 具体见课本, 还有一个概念:
$(X, d)$是一个距离空间, 且其上外测度$\mu^*$满足: $\mu^*(E_1 \cup E_2) = \mu^*(E_1) + \mu^*(E_2)$当$d(E_1, E_2) > 0$时, 则称$\mu^*$为$X$上的一个距离外测度(利用距离外测度性质, 可以证明开集的可测性)
注: 引理证明中引进$\lambda$, 可能是因为把$I_k$分成互不相交的$I_{ki}$时, $|I_k| = \sum{|I_{ki}|}$不一定成立, 或者在目前的定义下, 不能直接得出这个等式, 只有在后面证明$I_k$为可测集时才能使用? 似乎也不应该是这个理由?
好像明白点了, 直接是无法把开矩体$I_k$分解成互不相交的开矩体的并集的, 所以需要一个因子, 放大这些开矩体, 从而能够包住$I_k$. 事实上可以这样来得到这些开矩体, 把$I_k$的每一个边等分, 使得小矩体的边长小于$\delta/2$, 这些开矩体的并集虽然不等于$I_k$, 但是稍微放大一点就可以包住$I_k$了.