这一节讨论了Borel集和可测集的关系, 首先有Borel集都是可测集, 其次是可测集的一个结构.

这一节虽然出现了两个概念, 却只是一个用于记忆的概念: 等测包和等测核.

因为我们将会有结论: 对于每一个可测集$E$, 可以选择$G_{\delta}$集$H$, 使$m(H) = m(E)$, 且$E \subset H$. 同样存在含于$E$的$F_{sigma}$集$K$, 使$m(K) = m(E)$, 这里$H$称为等测包, $K$称为等测核.

这个等测包和等测核有什么意义呢? 意义在于我们对于一般的可测集的了解极少, 可是对于Borel集的了解要丰富的多, 而Borel集又可由开集与闭集组合得到, 这又简单了一些, 对于开集和闭集又可以从区间开始讨论, 正好符合从简单到复杂的认识规律.

(1) 区间(开矩体)是可测的, 由此, 从可测集是$\sigma$-代数可知: Borel集是可测的.

根据书中的可测集的定义, 我们必须证明开矩体是可测的. 注意, 有些书中先从开矩体开始定义可测集, 这是两个思路, 最后殊途同归.

证明需要利用外测度的距离外测度性质.

\[d(T \cap T_k, T \cap I^c) \ge \delta_k > 0,\]

$I_k$为包含于$I$内的开矩体.

\[\begin{gather*}
m^*(T) \ge m^*[(T \cap I_k) \cup (T \cap I^c)] = m^*(T \cap I_k) + m^*(T \cap I^c) \\
\lim{m^*(T \cap I_k)} = m^*(T \cap I) \quad (I_k \rightarrow I, k \rightarrow \infty) \\
m^*[(T \cap I) \backslash (T \cap I_k)] \ge m^*(T \cap I) – m^*(T \cap I_k) \ge 0
\end{gather*}\]

而$m^*[(T \cap I) \backslash (T \cap I_k)] \le 2n\cdot \delta_k(\eta + 2\delta_k)^{n-1}$, $\delta_k \rightarrow 0$.

(2)若$E \in \mathcal{M}$, 则对任给的$\epsilon > 0$, 有

(i) 存在包含$E$的开集$G$, 使得$m(G \backslash E) < \epsilon$.

(ii)存在含于$E$的闭集$F$, 使得$m(E \backslash F) < \epsilon$.

这说明可测集可以由一系列的开集和闭集来逼近.

正明只需注意到对于可测集, 测度与外测度是一回事, 从而可以用L-覆盖来逼近, 这对于$m(E) < \infty$没有问题, 对于$m(E) = \infty$时, 令$E_k = E \cap B(0, k)$, 则$m(E_k) < \infty$, 对于(ii), 只需注意到(i)与(ii)是有一定的对偶关系的.

(3) 若$E \in \mathcal{M}$, 则

(i) $E = H \backslash Z_1$, $H$是$G_{\delta}$集, $m(Z_1) = 0$;

(ii) $E = K \cup Z_2$, $K$是$F_{\sigma}$集, $m(Z_2) = 0$.

这只需使用定义和前一个命题的结论即可. 正是这个结论引出等测包和等测核的概念.

对于一般的集合$E$, 可以使用外测度有类似的结论.

$E \subset R^n$, 存在包含$E$的$G_{\delta}$集$H$, 使得$m(H) = m^*(E)$. [$H$是可测的, $m(H) = m^*(H)$]

这其实只需要使用外测度的定义即可.

(4) 若有$R^n$中的集合列$E_1 \subset E_2 \subset \cdots \subset E_k \subset \cdots$, 则$\lim_{k \rightarrow \infty}{m^*(E_k)} = m^*(\lim_{k \rightarrow \infty}{E_k})$.

在前一节中, 对于可测集已经证明了这样的结论, 现在是对于一般的集合.

(i) $\lim{E_k} = \bigcup{E_k}$, $m^*(E_k) \le m^*(\lim{E_k})$, 由此得到$\lim{m^*(E_k)} \le m^*(\lim{E_k})$.

(ii) 利用等测包: $m(H_k) = m^*(E_k)$, $H_k \supset E_k$, 令$S_k = \bigcap_{i=k}^{\infty}{H_i}$, 则

\[\begin{gather*}
m(\lim{S_k}) = \lim{m(S_k)} \\
E_k \subset S_k \subset H_k \Rightarrow m^*(E_k) \le m(S_k) \le m(H_k) = m^*(E_k) \\
\Rightarrow m(S_k) = m^*(E_k) \\
\lim{(m^*(E_k))} = \lim{m(S_k)} = m(\lim{S_k}) \ge m^*(\lim{E_k}) \quad \lim{S_k} \supset \lim{E_k}
\end{gather*}\]

这里面的关键还是各个集合之间的包含关系.

(5) 平移不变性, 即测度应具有平移不变性: 若$E \in \mathcal{M}$, $x_0 \in R^n$, 则$(E + \{x_0\}) \in \mathcal{M}$且

\[m(E + \{x_0\}) = m(E).\]

注意到外测度是满足平移不变性的, 故关键在于证明$E + \{x_0\} \in \mathcal{M}$.

把$E + \{x_0\}$表示成可测集的$\sigma$-运算.

\[E + \{x_0\} = (\bigcap_{k=1}^{\infty}{(G_k + \{x_0\})}) \backslash (Z + \{x_0\})\]

使用了$E = H \backslash Z$, $H = \cap{G_k}$, 利用$G$为开集, 则$G + \{x_0\}$仍为开集, 而开集是可测的.

定义(Borel测度): 在Borel $\sigma$-代数上定义了测度$\mu$, 且对紧集$K$有$\mu(K) < \infty$, 则称$\mu$为Borel测度. $R^n$上的Lebesgue测度是一种Borel测度.

(6) 若$\mu$是$R^n$上的平移不变的Borel测度, 则存在常数$\lambda$, 使得对$R^n$中每一个Borel集合$B$, 均有$\mu(B) = \lambda{m(B)}$.

也就是说, 除了一个常数因子, Lebesgue测度是$R^n$上平移不变的唯一的Borel测度.

(i) 在$R^n$中紧集是有界闭集, 故$m(K) < \infty$.

(ii) 对于$R^n$中的开集$G_0$, 有$m(G_0) \neq 0$, 令$\lambda = \frac{\mu(G_0)}{m(G_0)}$.

不应局限在测度上, 是不是应该考虑更一般的函数?

前面有结论, 对于$E \subset R^n$, 存在$H$, 使得$m(H) = m^*(E)$, $E \subset H$, 则$m^*(E) < \infty$时, $m(H) -m^*(E) = 0$, 如果$E$可测, 则必有$m(H \backslash E) = 0$.

$m^*(H \backslash E)$不一定等于0, 但是对于$H \backslash E$的可测子集的测度等于0.

这个结论同样需要证明.

设$E_1 \subset H \backslash E$为可测集, 则$E_1 \cup E \subset H$, 于是$m^*(E_1) + m^*(E) \ge m^*(E_1 \cup E)$, $E_1 \cap E = \emptyset$, $E_1 \subset H$, $m(E) + m(H) \ge m^*(E_1 \cup E)$ (我需要一个反向的不等式)

$E \subset H \backslash E_1$, $m(H \backslash E_1) = m(H) – m(E_1)$,

$m^*(E) \le m(H \backslash E_1) = m(H) – m(E_1)$ $\Rightarrow$ $m(E_1) \le m(H) – m^*(E) = 0$, 获证.

现在只剩下(6)了, Borel测度与Lebesgue测度之间的关系.