书中不可测集的构造使用了等价类的概念, 同时需要选择公理, 其中的关键是时一个引理, 有理数在这里又起了关键的作用, 尤其是其稠密性.

这里先说明这个不可测集如何构造.

设$Q^n$为$R^n$中的有理点集, 对$x, y \in R^n$, 若$x – y \in Q^n$, 则称$x \sim y$(等价), 可以证明这是一个等价关系, 这样我们可以划分$R^n$, 我们从每个等价类中取出一个点, 构成一个集合$W$, 应有这样的结论:

(i) $W$是不可列的;

(ii) 若$Q^n = \{r_1, r_2, \cdots, r_k, \cdots\}$, 则$\bigcup{(W + \{r_i\})} = R^n$.

这一点将说明$W$是不可测的,

(i) $m(W + \{r_i\}) = 0$ $\Rightarrow$ $m(R^n) = 0$.

(ii) $m(W) > 0$, 则需要注意书中的引理: 此时集合$(W – W)$中将包含内点, 这意味着$(W – W) \cap Q^n \neq \emptyset$. 而这说明$\exists x, y \in W$,使$x – y \in Q^n$, 这与$W$的选择矛盾. 这一步使用了$Q^n$的稠密性.

对于$W-W$中包含内点, 即存在$B(0, \delta) \subset W-W$, 这一点的证明见课本.

这个构造是如何想到的呢? 这个引理是否有直观意义?

第一: 测度为0, 甚至外测度为0的集合来说, 它的所有子集都是可测的(测度为0).

第二: 这样要找不可测集, 只需对测度或外测度大于0的集合, 引理说明对于可测集合, 如果其测度大于0, 那么存在一个测度大于0的开集作为它的子集.

一个矩体进行平移, 如果移动之后的矩体仍然覆盖原矩体的中心, 则说明它们相交部分的边长仍然大于$1/2$边长, 这块区域的体积大于$(\frac{1}{2}\text{边长})^n = 2^{-n}|I|$.

\[|I \cap (I + \{x_0\})| > 2^{-n}|I|.\]

把$I \cup (I + \{x_0\})$分解, 并注意可测性有

\[\begin{aligned}
m[I \cup (I + \{x_0\})] &= |I| + |I + \{x_0\}| – |I \cap (I + \{x_0\})| \\
&= 2|I| – |I \cap (I + \{x_0\})| \\
&<2|I| – 2^{-n}|I| = 2|I|(1 – 2^{-(n+1)})
\end{aligned}\]

对于$1 – 2^{-(n+1)} < \lambda < 1$, 可以选择$I$, 使$\lambda|I| < m(I \cap E)$,

\[\begin{equation}\label{eq2_4_1}
m(I \cup (I + \{x_0\})) < 2\lambda|I|,
\end{equation}\]

但是$I \cap E \subset I$, $((I \cap E) + \{x_0\}) \subset I + \{x_0\}$, 由此, $(I \cap E) \cup (I \cap E + \{x_0\}) \subset (I \cup (I + \{x_0\}))$, 而

\[\begin{equation}\label{eq2_4_2}
m(I \cap E) + m((I \cap E) + \{x_0\}) = 2m(I \cap E) > 2\lambda|I|,
\end{equation}\]

要做到\eqref{eq2_4_1}与\eqref{eq2_4_2}同时成立, 只有$(I \cap E) \cap ((I \cap E) + \{x_0\}) \neq \emptyset$.

设$y \in I \cap E$, $y \in (I \cap E) + \{x_0\}$, 则$y = x+ x_0$ $\Rightarrow$ $x_0 = y – x$, $x \in E$, $y \in E$.

这个例子还应继续观察思考.