目前数学一个重要的方向就是: 对于集合$A$, 考虑变换$f$, $f(A)$是否能保持$A$中的某些性质. 如果有些特性在两者之间保持不变, 这种性质通常是极为重要的. 例如在拓扑学中的同胚, 代数学中的同构等概念, 都是为了保持某种性质不会变化. 这一节研究的是$f$为特殊的变化—连续变换下, 可测集$A$由哪些性质.

前面已经证明了平移不会改变可测性和测度. 这里更一般一些: 连续变换.

概念1(连续变换): $T: R^n \rightarrow R^n$, 若对任一开集$G$, $T^{-1}(G)$是一个开集, 则称$T$是$R^n$到$R^n$的连续变换.

注意这个概念可以推广到一般的拓扑空间.

对于$R^n$中的变换来说, 它有一个等价的说法(常见的$\epsilon-\delta$语言版).

(1) 变换$T: R^n \rightarrow R^n$是连续变换的充分且必要条件是: 对任一点$x \in R^n$, 以及$\epsilon > 0$, 存在$\delta > 0$, 使得$|y – x| < \delta$时, $|T(y) – T(x)| < \epsilon$.

注: 这里需要对前一节中的不可测集的讨论插入一点: 早上的时候想到无理点集是测度大于0的可测集, 可是却不存在内点(?), 这说明我前面提到的有问题:

“引理说明对于可测集合, 如果其测度大于0, 那么存在一个测度大于0的开集作为它的子集.” 我当时之所以会得出这个结论, 是由引理, 存在$\delta$, $B(0, \delta) \subset W – W$, 结果我认为对于$x_0 \in W$, $B(x_0, \delta) \subset W$了, 这是不对的. 目前唯一能做的只能是记住这个结论, 以后对于不可测集可能有用. 下面回到正道上来, 证明上述关于连续变换的结论.

必要性: $\forall \epsilon > 0$, $\exists \delta > 0$, $|y – x| < \delta$时, $|T(y) – T(x)| < \epsilon$, 设$G$为一开集, $T^{-1}(G) = \{x | T(x) \in G\}$, $\forall x \in T^{-1}(G)$, 则$T(x) \in G$, 任取$\epsilon$, 存在$\delta$, 使$|y – T(x)| < \delta$时,$|T(y) – x| < \epsilon$, 我们令$\delta$足够小, 使$|y – T(x)| < \delta$包含在$G$中, 则有

很遗憾, 上面的讨论有问题.

把必要性和充分性搞乱了, 不过前面的证明也有问题:

$A$的充分且必要条件(充要条件)是$B$, 或者说$B$是$A$的充分且必要条件.

充分性: $B \Rightarrow A$; 必要性: $A \Rightarrow B$.

必要性: $\forall x \in R^n$, $B(T(x), \epsilon)$是开集, $x \in T^{-1}(B(T(x), \epsilon))$是开集中的内点, 存在$\delta$, $B(x, \delta) \subset T^{-1}(B(T(x), \epsilon))$, 即$y \in B(x, \delta)$时, 有$T(y) \in B(T(x), \epsilon)$.

充分性: $x \in T^{-1}(G)$, 则$T(x) \in G$, $\forall T(y) \in B(T(x), \epsilon)$, $\exists \delta$, $y \in B(x, \epsilon)$, 成立.

由此可以推出, 线性函数是连续的.

$T:R^n \rightarrow R^n$是线性变换, 即$T(\alpha{x} + \beta{y}) = \alpha{T(x)} + \beta{T(y)}$, $x, y \in R^n$.

令$\{e_i\}$为$R^n$的一个基, $T(e_i) = w_i$, $e_i, w_i \in R^n$, 则

\[T(x) = T(\sum{a_ie_i}) = \sum{a_iT(e_i)} = \sum{a_iw_i},\]

于是

\[\begin{aligned}
|T(x) – T(y)| &= |T(x – y)| = |\sum{(a_i – b_i)w_i}|\\
&\le [\sum{(a_i – b_i)^2}]^{1/2}[\sum{|w_i|^2}]^{1/2} \quad \text{Cauchy不等式}\\
&= [\sum{|w_i|^2}]^{1/2}|x – y| \rightarrow 0.
\end{aligned}\]

(2)设$T: R^n \rightarrow R^n$是连续变换, 若$K$是$R^n$中的紧集, 则$T(K)$是$R^n$中的紧集.

注意我们在第一章已经讨论过值域为$R^1$的情形, 那里证明$T(K)$是有界集, 这是使用一般的定义, 证明$T(K)$是紧集.

$\{H_n\}$为$T(K)$的任意一个开覆盖, 则$\{T^{-1}(H_n)\}$也是$K$的一个开覆盖, 从而存在有限个$T^{-1}(H_1)$, $\cdots$, $T^{-1}(H_n)$覆盖$K$, 此时, 这些$H_1$, $\cdots$, $H_n$也覆盖了$T(K)$, 说明$T(K)$是紧集.

作为推论有: $T: R^n \rightarrow R^n$为连续变换, 若$E$是$F_{\sigma}$集, 则$T(E)$是$F_{\sigma}$集.

书中没有详细说明, 这里补充之:

在$R^n$中, 紧集相当于有界闭集, 设$E = \bigcup_{i=1}^{\infty}{F_i}$, $F_i$为闭集, $T(E) = \bigcup{T(F_i)}$.

设$F$为闭集, 对于$T(F)$而言, 设$y$为$T(F)$的极限点, 即存在$y_i$使$y_i \in T(F)$, 且$y_i \rightarrow y$, 对于$y$的任意$\epsilon$邻域, $B(y, \epsilon)$为开集, 设$y_i = T(x_i)$, $y_i \rightarrow y$ $\Rightarrow$ $\forall \epsilon > 0$, $\exists N$, 当$m, n > N$时, $|y_m – y_n| < \epsilon$. 则$y_i$是有界的, 从而$x_i$是有界的, $x_i$存在收敛子列. 设$x$为$x_i$的极限点之一, 即$\lim{x_{i_k}} \rightarrow x$, 下面需要了解$x$与$y$的关系, 是否有$y = f(x)$呢? 从$T$的连续性来看, 应该有这样的结论. 于是$y \in T(F)$, 即$T(F)$也是闭集.

设$T: R^n \rightarrow R^n$是连续变换, 若对$R^n$中的任一零测集$Z$, $T(Z)$必为零测集, 则对$R^n$中的任一可测集$E$, $T(E)$必为可测集. 这只需注意到可测集与Borel集只相差一个零测集.

对于线性变换, 有下述结论:

$T: R^n \rightarrow R^n$是非奇异线性变换, $E \subset R^n$, 则$m^*(T(E)) = |\det{T}|m^*(E)$.

这个证明我还没有完全看明白, 这里先不复述了. 不过, 如果注意到$m$或$m^*$是面积, 体积的推广, 那么会发现这个公式很熟悉, 应该在微积分课程中遇到过. 下面先了解一下这个结论的推论.

如果$T$是奇异的线性变换, 则$\det{T} = 0$, 且$m^*(T(E)) = 0 =|\det{T}|\cdot m^*(E)$.

如果$E$是可测的, 由$T$是连续的,可知$T(E)$也是可测的, 从而有

\[m(T(E)) = |\det{T}| \cdot m(E).\]

书中有一个附注, 构造了一个非Borel集的可测集, 构造中使用了Cantor集.

书中证明的大致思路为: 先对区间(矩体)证明结论成立, 然后对开集证明结论成立, 最后就是一般点集. 原因在于: 开集可以由矩体构造而来, 一般点集的外测度等于$G_{\delta}$集.

注意这个问题和微积分中关于二重积分的计算问题的联系, 很遗憾, 那部分知识已经忘记的差不多了, 应该复习了. 接下来先进入下一章.