可测函数在极限运算下封闭, 这可能是我们对它进行研究的最重要的一点了.
首先还是来了解一下定义: 本节最重要的定义就是可测函数了.
(1) $f(x)$定义在可测集$E \subset R^n$上, 若$\forall t \in R$, 有$\{x | f(x) > t\}$是可测的, 则称$f(x)$在$E$上可测.
(2) 几乎处处: 设有一个与集合$E \subset R^n$中的点$x$有关的命题$P(x)$, 若除了$E$中的一个零测集以外, $P(x)$皆为真, 则称$P(x)$在$E$上几乎处处是真的. $P(x)$ a.e.(于$E$). (p.p)
(3) 设$f(x)$是定义在$E \subset R^n$上的实值函数, 若$\{y : y = f(x), x \in E\}$是有限集. 则称$f(x)$为$E$上的简单函数.
(4) 对于定义在$E \subset R^n$上的函数$f(x)$, 称点集$\{x:f(x) \neq 0\}$的闭包为$f(x)$的支集, 记为$\text{supp}(f)$. 若$f(x)$的支集是有界的, 则称$f(x)$是具有紧支集的函数.
重要的还是这些概念背后的东西.
(1)我们首先可以把可测函数定义中的$t$的范围缩小:
$f(x)$定义在可测集$E$上, $D$为$R^1$的一个稠密集, 若对$\forall r \in D$, $\{x | f(x) > r\}$可测, 则$f(x)$可测.
这只需注意到
\[\{x | f(x) > t\} = \bigcup_{k=1}^{\infty}{\{ x | f(x) > r_k \}}\]
即可, $\lim{r_k} = t$.
(2) 我们还可以变换一下可测函数定义中的点集$\{x | f(x) > t\}$:
$f(x)$为可测函数, 则下列等式中左端的点集皆可测.
(i) $\{x | f(x) \le t\} = E \backslash \{x | f(x) > t\}$, $t \in R^1$.
(ii) $\{x | f(x) \ge t\} = \bigcap_{k=1}^{\infty}{\{x | f(x) > t – 1/k\}}$.
(iii) $\{x | f(x) < t\} = E \backslash \{x | f(x) \ge t\}$.
(iv) $\{x | f(x) = t\} = \{x | f(x) \ge t\} \cap \{x | f(x) \le t\}$.
(v) $\{x | f(x) < \infty\} = \bigcup_{k=1}^{\infty}{\{x | f(x) < k\}}$.
(vi) $\{x | f(x) = +\infty\} = E \backslash \{x | f(x) < \infty\}$.
(vii) $\{x | f(x) > -\infty\} = \bigcup_{k=1}^{\infty}{\{x | f(x) > -k\}}$.
(viii) $\{x | f(x) = -\infty\} = E \backslash \{x | f(x) > -\infty\}$.
首先这些等式是明显的, 而其可测性可以从定义得出.
可测函数的定义实际上可以换成(i), (ii), (iii)中的左边的集合.
(3) $f(x)$在$E_1 \cup E_2$上有定义, $f(x)$在$E_1$上可测, 在$E_2$上也可测, 则在$E_1 \cup E_2$上也是可测的.
\[\{x \in E_1 \cup E_2 | f(x) > t\} = \{x \in E_1 | f(x) > t\} \cup \{x \in E_2 | f(x) > t\}.\]
$f(x)$在$E$上可测, $A$为$E$的可测子集, 则$f(x)$在$A$中可测.
\[\{x \in A | f(x) > t\} = A \cap \{x \in E | f(x) > t\}.\]
(4) 若$f(x)$, $g(x)$是$E$上的实值可测函数, 则函数$cf(x)$, $f(x) + g(x)$, $f(x) \cdot g(x)$均可测.
\[\begin{gather*}
\{x | f(x) > t\} = \{x | f(x) > c^{-1}t\} \text{或}\{x | f(x) < c^{-1}t\} (c > 0 \text{或} x < 0) \\
\{x | f(x) + g(x) > t\} = \bigcup_{i=1}^{\infty}{(\{x | f(x) > r_i\} \cap \{x | g(x) > t – r_i\})} \\
\{x | f^2(x) > t\} =
\begin{cases}
E, &t < 0 \\
\{x | f(x) > \sqrt{t}\} \cup \{x | f(x) < -\sqrt{t}\}, &t \ge 0.
\end{cases} \\
f(x)g(x) = [(f(x) + g(x))^2 – (f(x) – g(x))^2] / 4.
\end{gather*}\]
(5) 若$\{f_k(x)\}$是$E$上的可测函数列, 则函数$\sup\limits_{k \ge 1}{\{f_k(x)\}}$, $\inf\limits_{k \ge 1}{\{f_k(x)\}}$, $\varlimsup\limits_{k \rightarrow +\infty}{f_k(x)}$, $\varliminf\limits_{k \rightarrow +\infty}{f_k(x)}$在$E$上可测.
这个结论极为重要, 因为它涉及到了无限.
\[\begin{aligned}
\{ x | \sup_{k \ge 1}{\{f_k(x)\}} > t\} &= \bigcup_{k=1}^{\infty}{\{x | f_k(x) > t\}};\\
\inf_{k \ge 1}{\{f_k(x)\}} &= -\sup_{k \ge 1}{\{-f_k(x)\}}; \\
\varlimsup{f_k(x)} &= \inf_{i \ge 1}(\sup_{k \ge i}{[f_k(x)]}); \\
\varliminf{f_k(x)} &= -\varlimsup(-f_k(x)).
\end{aligned}\]
由此可知, 当$\lim{f_k(x)} = f(x)$时, $f(x)$是可测的, 说明可测函数在极限下封闭.
目前为止, 关于可测函数的证明, 其关键在于构造集合.
(6) 对于函数$f(x)$,我们经常会把这个函数进行分解,例如分解为两个正值函数, 奇偶函数等等.
分解为奇偶函数的方法: $f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) – f(-x)}{2}$.
分解为正值函数的方法: $f(x) = \max\{f(x), 0\} – \max\{-f(x), 0\} = f^+(x) – f^-(x)$.
关于正值分解, 我们需要注意到:
\[|f(x)| = f^+(x) + f^-(x).\]
如果$f(x)$在$E$上可测, 则$f^+(x)$和$f^-(x)$在$E$上可测, 从而$|(fx)|$也是可测的.
\[\begin{aligned}
\{x | f^+(x) > t\} &=
\begin{cases}
E &t \le 0,\\
\{x | f(x) > t\}, &t > 0,
\end{cases}\\
\{x | f^-(x) > t\} &=
\begin{cases}
E &t \le 0,\\
\{x | f(x) < -t\}, &t > 0,
\end{cases}
\end{aligned}\]
反过来, 若$f(x)$可测, 则不能得出$f(x)$可测的结论.
书中没有构造例子, 这里构造例子如下:
对于可测集$E$, 取不可测集$E_1 \subset E$, 令
\[f(x) =\begin{cases}
1, & x \in E \backslash E_1, \\
-1, & x\in E_1,
\end{cases}\]
则$|f(x)| = 1$可测, 但是$f(x)$不可测.
(7) 对于几乎处处这个概念, 有下列结论:
设$f(x)$,$g(x)$是定义在$E$上的广义实值函数,$f(x)$在$E$上可测,$f(x)=g(x)$ a.e.,则$g(x)$在$E$上可测.也就是说改变一个零测集的值不影响函数的可测性.(有点类似于改变一个数列的有限项不影响数列的收敛性).
\[\{x | g(x) > t\} = \{x \in E\backslash A | f(x) > t\} \cup \{x \in A | g(x) > t\}\]
这一节最后一个结论实际上是关于函数逼近的.
(8)可测函数可以用简单可测函数来逼近.
(i) 若$f(x)$是$E$上的非负可测函数, 则存在非负可测的简单函数渐升列: $\varphi_k(x) \le \varphi_{k+1}(x)$, $k=1,2,\cdots$, 使得
\[\lim_{k \rightarrow \infty}{
\varphi_k(x)} = f(x)\]
$f(x) = \sum{c_k\chi_{A_k}(x)}$, $x \in E$.
(ii)若$f(x)$是$E$上的可测函数, 则存在可测简单函数列$\{\varphi_k(x)\}$, 使得$|\varphi_k(x)| \le |f(x)|$, 且有
\[\lim_{k \rightarrow \infty}{\varphi_k(x)} = f(x), \quad x \in E.\]
若$f(x)$还是有界的, 则上述收敛是一致的.
在微积分课程中,对于连续函数是这样来逼近的:把$x$轴分隔成各个小区间,在每一个区间上用一个常数来替换$f(x)$在这一小区间的值,即令在$\{x| \alpha < x M< \beta\}$上$f(x)$为常数.
现在换个角度看,既然我们的目标是逼近$f(x)$,我们直接把$f(x)$即$y$轴分成各个小区间,在每个小区间上我们选择一个常数来表示$f(x)$,即令$\{x|\alpha<f(x)<\beta\}$上$f(x)$为常数.
这个结论的证明就是使用后一种想法.(对于前一种方法, 只能针对可微函数).这两个想法的差异基本上就是引言中提到的Riemann积分和Lebesgue积分的差异, 从这里可以大致看出后一种方法的逼近精度更高.
另一方面结论中涉及到了极限, 那么对于足够大的$f(x)$,我们用一个变化的$k$值来替换.
\[\varphi_k(x) =
\begin{cases}
\frac{j-1}{2^k} & x \in \{x | \frac{j-1}{2^k} \le f(x) < \frac{j}{2^k}\}, \\
k & x \in \{x | f(x) \ge k\},
\end{cases}\]
这里$j = 1,2,\cdots,k\cdot2^k$, $k=1,2,\cdots$.
(i)$\varphi_k(x) \le k$, $\varphi_k(x) \ge 0$.
(ii)$\varphi_k(x) \le \varphi_{k+1}(x) \le f(x)$, $\varphi_{k+1}(x) \le f(x)$是显然的,下面需要证明$\varphi_{k}(x) \le \varphi_{k+1}(x)$.
$x \in E_{k+1}$时, $\varphi_k(x) = k < k+1 = \varphi_{k+1}(x)$
$x \in E_k \backslash E_{k+1}$时,$\varphi_k(x) = k$,$\varphi_{k+1}(x)$, 这一段没有用.
$\frac{j-1}{2^k} < f(x) < \frac{j}{2^k}$时, $\varphi_k(x) = \frac{j-1}{2^k}$, 此时有$\frac{2j-2}{2^{k+1}} < f(x) < \frac{2j}{2^{k+1}}$,$\varphi_{k+1} = \frac{2j-2}{2^{k+1}}$或$\frac{2j-1}{2^{k+1}}$, 均大于或等于$\varphi_k(x)$.
(iii)$0 < f(x) – \varphi_k(x) < \frac{1}{2^k}$, 趋于0, $f(x)$有界.
(iv)$f(x) > k$时,$f(x)\rightarrow \infty$,$\varphi_k(x) \rightarrow \infty$.
注意: $\varphi_k(x)=0$的解在$\{x|0\le f(x) < \frac{1}{2^k}\}$上, $\{x | \varphi_k(x) \neq 0\}$是无界的,让它与$B(0,k)$作交集,则成了一个有界集,并且有
\[\lim{\varphi_k(x)\chi_{B(0,k)}} = \lim{\varphi_k(x)} =f(x).\]
对于$\varphi_k(x)$的支集来说, 它必定是闭集, 一旦有界, 就成了紧集了.
\[\begin{aligned}
\sup{|f^+(x) – \varphi_k^1(x)|} &\le \frac{1}{2^k} \\
\sup{|f^-(x) – \varphi_k^2(x)|} &\le \frac{1}{2^k} \\
|\varphi_k^1(x)-\varphi_k^2(x) – f(x)| &= |\varphi_k^1(x)- \varphi_k^2(x) – f^+(x) + f^-(x)| \\
&\le|f^+(x) – \varphi_k^1(x)| + |f^-(x)-\varphi_k^2(x)| \\
&\le \frac{1}{2^{k-1}} \rightarrow 0
\end{aligned}\]