这一节没有引入新的概念,继续讨论可积函数的各种性质,最主要的结论是关于可积函数与连续函数的关系.对于可测函数来说,我们可以用连续函数来逼近,对于可积函数有类似的结论.

1. 若$f \in L(E)$,则对任给$\epsilon>0$,存在$R^n$上具有紧支集的连续函数$g(x)$,使得$\int_{E}{|f(x)-g(x)|dx}<\epsilon$.

第一步,存在$R^n$上的具有紧支集的可测简单函数$\varphi(x)$,使得

\[\int_{E}{|f(x)-\varphi(x)|dx} < \epsilon/2.\]

第二步,存在$R^n$上具有紧支集的连续函数$g(x)$使得

\[m\{x : |\varphi(x) – g(x)|>0\} < \frac{\epsilon}{4M}.\]

这实际上把$f(x)$分解成里两部分:$f(x) = g(x) + f(x)-g(x) = f_1(x) + f_2(x)$,$f_1(x)$是$R^n$上具有紧支集的连续函数,$|f_2(x)|$在$E$上的积分小于$\epsilon$(可以足够小).

2. (平移连续性)若$f \in L(R^n)$,则$\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\int_{R^n}{|f(x+h) – f(x)|dx}} = 0$.

把$f(x)$分解为$f_1(x) + f_2(x)$,而$f_1(x)$是连续的,$f_2(x)$在$R^n$上积分可以任意小.

注意到积分与测度的关系,我们有:$E \subset R^n$为有界可测集,则

\[\lim_{h \rightarrow 0}{m(E \cap (E + \{h\}))=m(E)}, \quad h \in R^n\]

应用平移连续性于$\chi_{E}(x)$即可,$\chi_{E + \{h\}}(x) = \chi_{E}(x-h)$.

3. 若$f \in L(E)$,则存在具有紧支集的阶梯函数列$\{\varphi_k(x)\}$,使得

(i)$\lim\limits_{k \rightarrow \infty}{\varphi_k(x)} = f(x)$ a.e.,$x \in E$;

(ii)$\lim\limits_{k \rightarrow \infty}{\int_{E}{|f(x)-\varphi_k(x)|dx}} = 0$.

第一步:使用连续函数$g(x)$来逼近:$\forall \epsilon>0$,存在$R^n$上具有紧支集的连续函数$g(x)$,使得

\[\int_{E}{|f(x)-g(x)|dx} < \frac{\epsilon}{2}.\]

第二步:用阶梯函数逼近连续函数$g(x)$.设$g(x)$的支集含于某个闭方体内$I=\{x=(\xi_1, \cdots,\xi_n):-k_0 \le \xi_i \le k_0\}$,

\[\varphi(x) = \sum{c_i\chi_{I_i}(x)},\int_{I}{|g(x) – \varphi(x)|dx} < \frac{\epsilon}{2},\]

其中每个$I_i$可以是含于$I$内的二进方体.

然后对$\epsilon = 1/k$取出一个阶梯函数子列$\{\varphi_k(x)\}$,$\lim{\int_{E}{|f(x) – \varphi_k(x)|dx}} = 0$.

至于收敛性,想办法证明$\varphi_k(x)$是依测度收敛的,这要用到测度与积分的联系.

例子(Riemann-Lebesgue引理的推广):若$\{g_n(x)\}$是$[a,b]$上的可测函数列,且满足

(i) $|g_n(x)| \le M$,$x \in [a,b]$,$n=1,2,\cdots$;

(ii) 对任意的$c \in [a,b]$,有$\lim_{n \rightarrow \infty}{\int_{a}^{c}{g_n(x)dx}} = 0$.

则对任意的$f \in L([a,b])$有

\[\lim_{n \rightarrow \infty}{\int_{a}^{b}{f(x)g_n(x)dx}} = 0.\]

$\varphi(x)$为阶梯函数

\[|\int_{a}^{b}{f(x)g_n(x)dx}| \le |\int_{a}^{b}{[f(x) – \varphi(x)]g_n(x)dx}| + |\int_{a}^{b}{\varphi(x)g_n(x)dx}|,\]

$\varphi(x) = \sum{y_i\chi_{[x_{i-1}, x_i)}(x)}$,展开.

本节还有一些例子见书本.