在多元微积分课程中,(Riemann积分)有下列结论:如果$f(x,y)$在$I=[a,b]\times[c,d]$上连续,那么等式
\[\int_{I}{f(x,y)dxdy} = \int_{a}^{b}{\{\int_{c}^{d}{f(x,y)dy}\}dx}\]
成立.把重积分转化成为累次积分,在Lebesgue积分理论下,有类似的结论:Fubini定理.
这一节分两部分,首先证明了Fubini定理,然后通过Fubini定理讨论了积分的几何意义.
令$n=p+q$,$p,q$为正整数,$R^n=R^p \times R^q$,$(x,y)=(\xi_1,\cdots, \xi_p,\xi_{p+1}, \cdots,\xi_n)$.定义在$R^n$上的函数$f$的积分为
\[\int_{R^p \times R^q}{f(x,y)dxdy} = \int_{R^n}{f(x,y)dxdy},\]
Fubini定理的结论是:
\[\int_{R^n}{f(x,y)dxdy} = \int_{R^p}{dx}\int_{R^q}{f(x,y)dy}.\]
整个过程分几步完成:
1. 非负可测函数情形的Tonelli定理,设$f(x,y)$是$R^n=R^p \times R^q$上的非负可测函数,我们有
(A) 对于几乎处处的$x \in R^p$,$f(x,y)$作为$y$的函数是$R^q$上的非负可测函数;
(B) 记$F_f(x)=\int_{R^q}{f(x,y)dy}$,则$F_f(x)$是$R^p$上的非负可测函数;
(C) $\int_{R^p}{F_f(x)dx} = \int_{R^p}{dx}\int_{R^q}{f(x,y)dy} = \int_{R^n}{f(x,y)dxdy}$.
请注意接下来的证明过程,书中并没有直接进入定理的证明,而是首先引入了一个引理,这个引理研究了满足(A),(B),(C)三个条件的可测函数有哪些性质,然后来证明定理中的函数也是这样的函数,记满足(A),(B),(C)的非负可测函数的全体为$\mathcal{F}$.
我们要证明命题$p(x)$,可以先研究空间$\{x: p(x)\}$,然后从一些特殊的$x$来说明$p(x)$,因为通常特殊的$x$更容易证明$p(x)$.
引理：
(i) 若$f \in \mathcal{F}$,$a \ge 0$,则$af \in \mathcal{F}$;
(ii) 若$f_1,f_2 \in \mathcal{F}$,则$f_1 + f_2 \in \mathcal{F}$;
(iii) 若$f,g \in \mathcal{F}$,$f(x,y) – g(x,y) \ge 0$,且$g \in L(R^n)$,则$f-g \in \mathcal{F}$;
(iv) 若$f_k \in \mathcal{F}$,$k=1,2,\cdots$,$f_k(x,y) \le f_{k+1}(x,y)$,且有$\lim{f_k(x,y)} = f(x,y)$,则$f \in \mathcal{F}$.
有了这个引理,我们只需要对一小部分函数证明定理:可测函数可以通过简单可测函数来逼近,故只需要对非负可测简单函数证明结论即可,而简单可测函数又可以表示为可测集的特征函数,故最后归结为对任一可测集$E$上的特征函数$\chi_{E}(x,y)$.
具体证明见课本,总的思路还是走了一遍可测集的定义,先考虑矩体,然后是开集,接下来是可测集,这同样是因为集合的逼近的原因.
2. 完成非负可测函数的证明之后,就有了针对一般可积函数的Fubini定理.
若$f \in L(R^n)$,$(x,y) \in R^n = R^p \times R^q$,则
(A) 对于几乎处处的$x \in R^p$,$f(x,y)$是$R^q$上的可积函数;
(B) 积分$\int_{R^q}{f(x,y)dy}$是$R^p$上的可积函数;
(C) $\int_{R^n}{f(x,y)dxdy} = \int_{R^p}{dx}\int_{R^q}{f(x,y)dy} = \int_{R^q}{dy}\int_{R^p}{f(x,y)dx}$.
书中有一个注解:即使$f(x,y)$的两个累次积分存在且相等,$f(x,y)$在$R^n$上也可能是不可积的,也就是说,(C)中后一个等式成立不能得出$f \in L(R^n)$.
注意积分与测度是相通的,本节第二部分就是讨论低维欧氏空间中点集与高维欧氏空间中点集之间的测度关系.
有必要回忆一下微积分的情形:
$\int_{a}^{b}{f(x)dx}$表示的是二维点集的面积,它与一维点集$[a,b]$之间是有关系的,一个简单的关系是所谓积分中值定理:
\[\int_{a}^{b}{f(x)dx} = f(\xi)(b-a).\]
1. 设$E$是$R^n = R^p \times R^q$中的可测集,对任意的$x \in R^p$,令$E(x) = \{y \in R^q : (x,y) \in E\}$,称它为点集$E$在$x$处的截断集,则对几乎处处的$x$,$E(x)$是$R^q$中的可测集,$m(E(x))$是$R^p$上的可测函数,且有
\[m(E) = \int_{R^p}{m(E(x))dx}.\]
对$f = \chi_{E}$使用Tonelli定理即可.
2. 若$E_1$与$E_2$是$R^p$与$R^q$中的可测集,则$E_1 \times E_2$是$R^p \times R^q$中的可测集,且有$m(E_1 \times E_2) = m(E_1) \cdot m(E_2)$.
$\chi_{E_1}(x) \cdot \chi_{E_2}(x) = \chi_{E_1 \times E_2}(x)$.
这可以使用Tonelli定理得出等式,关键是证明$E_1 \times E_2$可测,而可测集可以表示为有界闭集的极限,故$E_1 \times E_2$可以由可数个$A \times B$并集得到,$A,B$是有界闭集或零测集,剩下来就是证明$A \times B$可测,当$A$为零测集时,$A \times B$为零测集,否则$A \times B$为闭集,可测.
3. (可测函数图形的测度)设$f(x)$是$E$上的非负实值可测函数,作点集
\[G_E(f) = \{(x, y) \in R^{n+1} : x\ in E, y = f(x)\},\]
称之为$f$在$E$上的图形.$m(G_E(f)) = 0$.
$E_k = \{x : k\delta \le f(x) < (k+1)\delta\}$,可测的,$G_E(f) = \bigcup_{k=0}^{\infty}{G_{E_k}(f)}$.
4. 积分的几何意义:设$f(x)$是$E$上的非负实值函数,记
\[\underline{G}(f) = \underline{G}_{E}(f) = \{(x,y) \in R^{n+1}:x \in E, 0 \le y \le f(x)\},\]
称它为$f$在$E$上的下方图形集,则有
(1) 若$f(x)$是可测函数,则$\underline{G}(f)$是$R^{n+1}$上的可测集,且
\[m(\underline{G}(f)) = \int_{E}{f(x)dx}.\]
(2) 若$E$是可测集,$\underline{G}(f)$是$R^{n+1}$的可测集,则$f(x)$是可测函数,且有
\[m(\underline{G}(f)) = \int_{E}{f(x)dx}.\]
推断过程:特征函数$\longrightarrow$非负可测简单函数$\longrightarrow$非负可测函数.
$\underline{G}(f)$的截断集$H(y) = \{x: f(x) \ge y\}$,详细的讨论见课本.
Fubini定理的应用:
设$f(x)$与$g(x)$为$R^n$上的可积函数,若积分$\int_{R^n}{f(x-y)g(y)dy}$存在, 则称此积分为$f$与$g$的卷积,记为$(f*g)(x)$.
(1) $(f*g)(x)$是$R^n$上的可积函数,且有
\[\int_{R^n}{|(f*g)(x)|dx} \le (\int_{R^n}{|f(x)|dx})(\int_{R^n}{|g(x)|dx}),\]
(2) $f(x)$是$E$上的可测函数,$\forall \lambda > 0$,$\{x \in E: |f(x)| > \lambda\}$,它是可测集,令
\[f_*(\lambda)=m(\{x \in E: |f(x)| > \lambda\})\]
为$f$的分布函数,$f_*(x)$是$(0, \infty)$上的单调下降函数,我们有
\[\int_{E}{|f(x)|^pdx} = p\int_{0}^{\infty}{\lambda^{p-1}f_*(\lambda)d\lambda}, 1 \le p < \infty.\]
令$F(\lambda, x)$为$\{x \in E: |f(x)| > \lambda\}$的特征函数,使用Tonelli定理.
附录:
这一章的附录也应加以注意,分两部分,第一部分讨论了复值函数的积分,第二部分是积分号下取极限的充要条件.
复值函数的积分是通过实部与虚部来定义的.$f(x) = \varphi(x) + i\psi(x)$,定义
\[\int_{E}{f(x)dx} = \int_{E}{\varphi(x)dx} + i\int_{E}{\psi(x)dx}.\]
一个主要的结论是:
\[|\int_{E}{f(x)dx}| \le \int_{E}{|f(x)|dx}.\]
类似于$|\sum{a_i}| \le \sum{|a_i|}$.
至于积分号下取极限的问题,引入了一个一致(或等度)可积函数列的概念:
设$f_k \in L(E)$,$\forall \epsilon>0$,存在非负函数$g \in L(E)$,使得
\[\int_{\{x\in E:|f_k(x)|\ge g(x)\}}{|f(x)dx|dx} \le \epsilon,k=1,2,\cdots\]
则称$\{f_k\}$是$E$上的一致(或等度)可积函数列.
若$|f_k(x)| \le F(x)$,且$F \in L(E)$,则可以取$g(x)>F(x)$,此时$\{x\in E: |f_k(x)| \ge g(x)\}$为空集,任意积分都为0,也就是说她是一个一致可积函数列.
这里一致是指$\epsilon$和$g(x)$对所有的$k=1,2,\cdots$都成立.
$\{f_k\}$是$E$上的一致可积函数列的充要条件是:
(i) $\sup_{k>1}{\{\int_{E}{|f_k(x)|dx}\}} < \infty$;
(ii) 对任意的$\epsilon>0$,存在非负函数$h \in L^1(E)$,以及$\delta>0$,使得满足$\int_{e}{h(x)dx}\le \delta$的可测集$e$必有
\[\int_{e}{|f_k(x)|dx} \le \epsilon,\quad k=1,2,\cdots\]
充分性:(i)和(ii)成立,证明$\{f_k\}$为一致收敛列,可以先假设$f_k(x)$是非负可测函数,Fatou引理有
\[\int_{E}{\underline{\lim}f_k(x)dx} \le \underline{\lim}{\int_{E}{f_k(x)dx}}<\sup\{\int_{E}{f_k(x)dx}\}<\infty\]
说明$\underline{\lim}{f_k(x)}$是可积的.
如果记$e = \{x \in E: f_k(x) \ge g(x)\}$,则所证即为$\int_{e}{f_k(x)dx} \le \epsilon$,这与(ii)极为相似,根据(ii),$\forall \epsilon>0$,$\exists h(x)$及$\delta$,使$e$满足$\int_{e}{h(x)dx} \le \delta$时有$\int_{e}{f_k(x)dx} \le \epsilon$.
$h_1(x) = \underline{\lim}{f_k(x)}$,$g(x)=\max(h_1(x), h(x))$,则当$\int_{e}{g(x)dx} \le \delta$时有$\int_{e}{h(x)dx} \le \delta$.
见鬼,一点思路都没有,先放在这儿,继续读下去吧.