这一节说明Lebesgue积分正是Riemann积分的推广.不过只讨论了一维的情形.这一节没有引入新的概念.

1. 设$f(x)$是定义在$I=[a,b]$上的有界函数,记$w(x)$是$f(x)$在$[a,b]$上的振幅(函数),我们有

\[\int_{I}{w(x)dx} = \overline{\int}_{a}^{b}{f(x)dx} – \underline{\int}_{a}^{b}{f(x)dx},\]

左端是$w(x)$在$I$上的Lebesgue积分.

这里涉及到了这样一些以往的概念:

(a)振幅函数$w(x)$:

\[w(x) = \lim_{\delta \rightarrow 0}{\sup\{|f(x’) – f(x”)|: x’,x” \in B(x, \delta)\}},\]

(b)Darboux上下积分:$\overline{\int}_{a}^{b}{f(x)dx}$和$\underline{\int}_{a}^{b}{f(x)dx}$.

对于分割$\Delta$来说,$m_i$和$M_i$分别表示$f(x)$在$[x_i,x_{i+1}]$中的下确界和上确界.则

\[s = \sum{m_i\Delta{x_i}}, S = \sum{M_i\Delta{x_i}}\]

分别称为下和与上和.

\[\overline{\int}_{a}^{b}{f(x)dx} = \lim_{|\Delta| \rightarrow 0}{S}, \underline{\int}_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{|\Delta| \rightarrow 0}{s}\]

这两个值是必然存在的,只不过可能为$+\infty$或$-\infty$.

这个结论的证明分两步:(1)$w(x) \in L([a,b])$;(2)等式成立.

关于等式的证明,关键在于构造了

\[w_{\Delta^{(n)}}(x) = \begin{cases}
M_i^{(n)} – m_i^{(n)}, &x \in (x_{i-1}^{(n)}, x_{i}^{(n)}),\\
0, &x \text{为}\Delta^{(n)}\text{的分点}.
\end{cases}\]

$\lim_{n \rightarrow \infty}{w_{\Delta^{(n)}}(x)} = w(x)$,控制收敛.

有了这个结论,便有了Lebusgue积分和Riemann积分的关系.

2. $f(x)$是$[a,b]$上的有界函数,则$f(x)$在$[a,b]$上是Riemann可积的充分且必要条件是:$f(x)$在$[a,b]$上的不连续点集是零测集(几乎处处连续).

(1)如果$f(x)$在$[a,b]$上的不连续点集是零测集,则意味着$\{x : w(x) \neq 0\}$的测度为0,于是

\[\overline{\int}_{a}^{b}{f(x)dx} – \underline{\int}_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{I}{w(x)dx} = 0,\]

从而$f(x)$是Riemann可积的.

(2)如果$f(x)$是Riemann可积的,则$\int_{I}{w(x)dx} = 0$,而$w(x)\ge 0$,于是$w(x) \neq 0$的$x$构成的集合的测度为0,即$f(x)$的不连续点集是零测集.

下一个定理说明Lebesgue积分确实是Riemann积分的推广.

3. 若$f(x)$在$I=[a,b]$上是Riemann可积的,则$f(x)$在$[a,b]$上是Lebesgue可积的,其积分值相同.

$f(x)$是Riemann可积,说明$f(x)$是几乎处处连续的,从而$f(x)$为有界可测函数,从而可知$f(x)$Lebesgue可积.(这里说明判断一个函数Lebesgue可积极为简单)

把$[a,b]$分解:$a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$,利用可数可加性有

\[\int_{I}{f(x)dx} = \sum{\int_{[x_{i-1}, x_i]}{f(x)dx}},\]

这后一个积分可用Draboux上下积分逼近.

4. 对于无界函数的积分或者函数在无穷区间的积分,Riemann积分是作为广义积分来定义的,那么使用Lebesgue积分的概念是什么情形呢?

设$\{E_k\}$是递增可测集合列,其并集为$E$,$f \in L(E_k)$,$k=1,2,\cdots$,若极限$\lim_{k \rightarrow \infty}{|f(x)|dx}$存在(有限),则$f \in L(E)$,且有

\[\int_{E}{f(x)dx} = \lim_{k \rightarrow \infty}{\int_{E_k}{f(x)dx}}.\]

$f(x)\chi_{E_k}(x) \in L(E_k)$,$\lim_{k \rightarrow \infty}{f(x)\chi_{E_k}(x)} = f(x)$,$|f(x)\chi_{E_k}(x)| \le |f(x)|$,于是

\[\lim_{k \rightarrow \infty}{\int_{E}{|f(x)|\chi_{E_k}(x)dx}} = \int_{E}{|f(x)|\chi_{E}(x)dx}=\int_{E}{|f(x)|dx}.\]

说明$\int_{E}{|f(x)|dx}$有限,$f(x) \in L(E)$.

$\int_{E}{f(x)dx} = \lim_{k \rightarrow \infty}{\int_{E_k}{f(x)dx}}$可以由控制收敛定理获得.

不过令人惊奇的是在广义积分下,Riemann广义积分和Lebesgue积分没有必然的联系.书中给出两个例子.

(1)$f(x)=\sin{x}/x$,$\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin{x}}{x}dx} = \pi/2$,这是广义Riemann积分的值,另一方面,$\int_{0}^{\infty}{|\frac{\sin{x}}{x}|dx} = +\infty$,说明$f \notin L([0, \infty))$,因为对于Lebesgue可积函数来说,$f(x)$与$|f(x)|$是同时成立的.

(2)在$[0,1]$上定义函数

\[f(x) = \begin{cases}
0, & x=0 \\
(-1)^{n+1}n & \frac{1}{n+1} < x \le \frac{1}{n}
\end{cases}\]

广义Riemann积分:$\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 1 – \ln{2}$,另一方面,$\int_{0}^{1}{f(x)dx} = +\infty$,说明$f \notin L([0,1])$.

\[\begin{aligned}
\int_{0}^{1}{f(x)dx} &=1 \cdot \frac{1}{2} – 2(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}) + 3(\frac{1}{3} – \frac{1}{4}) + \cdots + (-1)^{n+1}n(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}) \\
&=\sum{(-1)^{n+1}\frac{n}{n(n+1)}}=\sum_{1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}}
\end{aligned}\]

注意到$\ln{(1+x)}$的展开式为:$\ln{(1+x)} = \sum_{0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{n}x^n}$,

\[\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 1 – \ln{2}.\]

为什么会有这样的情形呢?

应注意到Lebesgue积分的定义中要求$\int_{E}{f^+(x)dx}$与$\int_{E}{f^-(x)dx}$都是有限的时候才能要求$f(x)$可积,而$\int_{E}{f(x)dx} = \int_{E}{f^+(x)dx} – \int_{E}{f^-(x)dx}$,另一方面完全有可能$\int_{E}{f^+(x)dx}$为$\infty$,$\int_{E}{f^-(x)dx}$为$\infty$,可是$\int_{E}{f^+(x)dx} – \int_{E}{f^-(x)dx}$却是有限的情形(注意这些是使用极限的情形).

对于无界函数与无穷区间的情形,Lebesgue积分与广义Riemann积分会有不同的考虑.