这一节解决以下问题:$g:[a,b]\rightarrow[c,d]$几乎处处可微,$f(x)$是$[c,d]$上的可积函数,是否成立

\[\int_{g(\alpha)}^{g(\beta)}{f(x)dx} = \int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt},\quad [\alpha,\beta] \subset [a,b].\]

(1)这里涉及到了复合函数;

(2)如果$f(x) \equiv 1$,则等式变为$g(\beta) – g(\alpha) = \int_{\alpha}^{\beta}{g'(t)dt}$,这在$g(x)$为绝对连续函数时成立.

这一节没有任何新概念,我们主要考虑上述等式成立的条件.

1. $f(x)$是$[a,b]$上的绝对连续函数,$E \subset [a,b]$,且$m(E)=0$,则$m(f(E))=0$.

证明过程:从$f(x)$为绝对连续函数,使用其定义:$\forall \epsilon>0$,$\exists \delta>0$,使$[a,b]$中互不相交的区间$(x_i,y_i)$满足$\sum{(y_i-x_i)}<\delta$时,$\sum{|f(y_i)-f(x_i)|}<\epsilon$.

令$G=\bigcup{[x_i,y_i]}$,且$[a,b] \supset G \supset E\backslash\{a,b\}$,这样的$G$是存在的,另一方面,$f(x)$为$[x_i,y_i]$上的连续函数,存在最小值和最大值,可设$f([x_i,y_i]) \subset [f(c_i),f(d_i)]$,$[c_i,d_i] \subset [x_i,y_i]$,而$m(f(E))=m(f(E \backslash \{a,b\}))$,

\[m(f(G)) = m(f(\bigcup{[x_i,y_i]})) \le \sum{m(f([x_i,y_i]))} = \sum{(f(d_i) – f(c_i))}<\epsilon.\]

如果$E$是$[a,b]$中的可测集,则$f(E)$是可测的,这只需要利用前面第二章的定理2.20即可.$f$为绝对连续函数意味着$f$为连续函数.

2. 设$f(x)$是$[a,b]$上的实值函数,$E \subset [a,b]$,如果$f'(x)$在$E$上存在,且$|f'(x)|\le M$,则

\[m^*(f(E)) \le M \cdot m^*(E).\]

(1)把$f'(x)$存在表示为集合语言:$\forall \epsilon>0$,做

\[E_n=\{x \in E: \text{当}[a,b]\text{中的点}y\text{满足}|y-x|<\frac{1}{n}\text{时},|f(y)-f(x)|\le(M+\epsilon)|x-y|\}\]

于是$E_n \subset E_{n+1}$,$f(E_n) \subset f(E_{n+1})$,递增,于是有$\lim{m^*(E_n)} = m^*(E)$,$\lim{m^*(f(E_n))}=m^*(f(E))$.(第二章推论2.13)

(2)若能证明$m^*(f(E_n))<(M+\epsilon)(m^*(E_n)+\epsilon)$,则结论成立.

使用$m^*(E_n)$的定义,用$\{I_{n,k}\}$覆盖$E_n$,且$\sum|I_{n,k}|<m^*(E) + \epsilon$,$|I_{n,k}|<1/n$.而$s,t \in E_N \cap I_{n,k}$时有

\[|f(s)-f(t)|<(M+s)|I_{n,k}|\]

这是根据$E_n$的定义.

\[\begin{aligned}
m^*(f(E_n))&=m^*(f(E \cap (\bigcup{I_{n,k}}))) \le \sum{m^*(f(E \cap I_{n,k}))} \\
&\le \sum\text{diam}(f(E_n \cap I_{n,k})) \le (M+\epsilon)\sum{|I_{n,k}|}<(M+\epsilon)(m^*(E_n)+\epsilon)
\end{aligned}\]

当$f(x)$为$[a,b]$上可测函数时,$E$为$[a,b]$上的可测集,$f(x)$在$E$上可微,此时有

\[m^*(f(E)) \le M\cdot m(E),\]

我们需要找到这个$M$.

\[|\int_{E}{f'(x)dx}| \le \int_{E}{|f'(x)|dx}\]

还是需要把$E$分解

\[E_n = \{x \in E: (n-1)\epsilon \le |f'(x)| \le n\epsilon\},\]

于是

\[m^*(f(E_n))\le n\epsilon m(E_n) \le (n-1)\epsilon m(E_n) + \epsilon m(E_n) \le int_{E_n}{|f'(x)|dx} + \epsilon m(E_n),\]

而$\sum{m(E_n)} = m(E)$,$\bigcup{E_n} = E$.

\[\begin{aligned}
m^*(f(E)) &\le \sum{m^*(f(E_n))} \le \sum{\int_{E_n}{|f'(x)|dx}}+\epsilon\sum{m(E_n)}\\
&=\int_{E}{|f'(x)|dx} + \epsilon m(E).
\end{aligned}\]

可得

\[m^*(f(E)) \le \int_{E}{|f'(x)|dx}.\]

3. 设$f(x)$在$[a,b]$上是处处可微的,且$f'(x)$是$[a,b]$上的可积函数,则

\[\int_{a}^{b}{f'(x)dx}=f(b)-f(a).\]

对于$f(x)$为绝对连续函数,这个结论是成立的.于是若能证明$f(x)$为绝对连续函数,命题得证.

利用积分的连续性:$\forall \epsilon>0$,$\exists \delta>0$,当$e \subset [a,b]$且$m(e)<\delta$时$\int_{e}{|f'(x)dx|dx}<\epsilon$.

\[\sum{|f(y_i)-f(x_i)|}\le \sum{m(f([x_i,y_i]))}\le\sum{\int_{[x_i,y_i]}{|f'(x)|dx}}=\int_{\bigcup{[x_i,y_i]}}{|f'(x)|dx}<\epsilon\]

这里因为$f(x)$连续,故$[f(x_i),f(y_i)] \subset f([x_i,y_i])$.

4. 若$f(x)$是$[a,b]$上的实值函数,在$[a,b]$的子集$E$上是可微的,我们有

(i) 若在$E$上$f'(x)=0$ a.e.,则$m(f(E))=0$.

(ii) 若$m(f(E))=0$,则在$E$上$f'(x)=0$ a.e..

(i)$E_n=\{x \in E: n-1<f'(x)<n\}$,则

\[m^*(f(E))\le \sum{m^*(f(E_n))}\le\sum{n\cdot m^*(E_n)}=0\]

(ii)$B_n=\{x \in E: |y-x|<1/n,|f(y)-f(x)|\ge\frac{|y-x|}{n}\}$,$B=\bigcup{B_n}=\{x \in E: |f'(x)|>0\}$.

$I$为任一长度小于$1/n$的区间,$A=I\cap B_n \subset E$,可以得出$m(f(A))=0$.

$\forall \epsilon>0$,$\exists \{I_k\}$,$\bigcup{I_k} \supset f(A)$,$\sum{|I_k|}<\epsilon$.

$A_k=A \cap f^{-1}(I_k)$,$A_k \subset A$,$A_k \subset I \cap B_n$,$f(A_k) \subset I_k$,

$\bigcup{A_k}=\bigcup{A\cap f^{-1}(I_k)}=A \cap (\bigcup{f^{-1}(I_k)}) = A$,$A \subset \bigcup{f^{-1}(I_k)}$.

$m^*(A) \le \sum{m^*(A_k)} \le \sum{\text{diam}(A_k)} \le \sum{n \cdot \text{diam}(f(A_k))} \le n\sum{m(I_k)} \le n\epsilon$.

这一步师什么原因?这是从$B_n$的定义得出的,$A_k \subset B_n$

$|y-x| \le n|f(y)-f(x)|$,可以得出$\sup{|y-x|} \le n \sup{|f(y)-f(x)|}$.

4. (复合函数的微分)设$g:[a,b]\rightarrow [c,d]$是几乎处处可微的函数,$F(x)$时候$[c,d]$上几乎处处可微的函数,且$F'(x)=f(x)$ a.e..$F(g(x))$在$[a,b]$上是几乎处处可微的,若对于$[c,d]$中的任一零测集$Z$,总有$m(F(Z))=0$,则

\[[F(g(t))]’=f(g(t))g'(t) a.e. \quad (t \in [a,b]).\]

$Z = \{x \in [c,d]: F\text{在}x\text{点不可微}\}$,$A=g^{-1}(Z)$,$B=[a,b]\backslash A$,则在$B$中有等式成立,注意这时还是有$A$中的点,对于$A$中的点有:

$m(g(A)) \le m(Z) = 0$ $\Rightarrow$ $m(F(g(A)))=0$,

前者可以推出$g'(x)=0$,后者能够推出$[F(g(x))]’=0$,于是$[F(g(t))]’=f(g(t))g'(t)$.

书中举了一个例子,说明”$F$将零测集映为零测集”这个条件不能缺少.

推论: 设$g(t)$以及$f(g(t))$在$[a,b]$上几乎处处可微,其中$f(x)$在$[c,d]$上绝对连续,$g([a,b]) \subset [c,d]$,则

\[[f(g(t))]’=f'(g(t))g'(t) a.e..\]

差别在于$f(x)$与$F(x)$,当$f(x)$为绝对连续函数时,$f(x)$几乎处处可微,$f(x)$把零测集映为零测集.

这里关注一下它的例子:

设$g$为$[0,1]$上的严格单调上升的连续函数且$g'(t)=0$ a.e.,令$F=g^{-1}$.易知$F(x)$是单调且几乎处处可微的函数,$[F(g(t))]’=(t)’=1$,$g'(t)=0$,$[F(g(t))]’ \neq F'(g(t))g'(t)$.

问题是这样的$g$存在吗?对于严格单调上升的函数不是应有$g'(t)>0$吗?

5. (换元积分法)假设$g(x)$在$[a,b]$上是几乎处处可微的,$f(x)$是$[c,d]$上的可积函数,且$g([a,b])\subset[c,d]$,记$F(x)=\int_{c}^{x}{f(t)dt}$,则下述两个命题是等价的:

(i) $F(g(t))$是$[a,b]$上的绝对连续函数;

(ii) $f(g(t))g'(t)$是$[a,b]$上的可积函数且有

\[\int_{g(\alpha)}^{g(\beta)}{f(x)dx}=\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}.\]

(i)$\forall \alpha,\beta$,$F(g(\beta)) – F(g(\alpha)) = \int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}$,而$\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}$可以随$\alpha$,$\beta$足够接近而任意小,即$F(g(t))$是绝对连续函数.

(ii)$[F(g(t))]’=f(g(t))g'(t)$可积,

\[\int_{g(\alpha)}^{g(\beta)}{f(x)dx}=F(g(\beta)) – F(g(\alpha))=\int_{\alpha}^{\beta}{[F(g(t))]’dt}=\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}.\]

这里$g(t)$不一定是绝对连续函数,书中给出了一个例子.

推论: 设$g:[a,b] \rightarrow [c,d]$是绝对连续函数,$f \in L([c,d])$,则下述条件之一都是等式

\[\int_{g(\alpha)}^{g(\beta)}{f(x)dx}=\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}\]

成立的充分条件.

(i) $g(t)$在$[a,b]$上是单调函数;

(ii) $f(x)$在$[c,d]$上是有界函数;

(iii) $f(g(t))g'(t)$在$[a,b]$上是可积函数.

$f \in L([c,d])$,可令$F(x)=\int_{c}^{x}{f(u)du}$.$g(t)$绝对连续,可以得出$g(t)$几乎处处可微,两者结合,如果$F(g(t))$是绝对连续的,则等式成立.

(i)不妨设$g(t)$单调上升,$F(g(\beta)) – F(g(\alpha))=\int_{g(\alpha)}^{g(\beta)}{f(t)dt}$,注意$g(t)$是绝对连续的,$[\alpha,\beta]$足够小时,$[g(\alpha),g(\beta)]$可以任意小,从而$\int_{g(\alpha)}^{g(\beta)}{f(t)dt}$可以任意小.

(ii)$f(x)$有界,则有

\[|F(g(\beta))-F(g(\alpha))| \le M|g(\beta)-g(\alpha)|,\]

可以任意小.

(iii)$f_n(x)=f(x)$,当$x \in [c,d]$且$|f(x)|<n$时,否则$f(x)=n$.此时有$|f_n(x)|\le|f(x)|$,且$\lim_{n \rightarrow \infty}{f_n(x)}=f(x)$ a.e.于是

\[\lim_{n \rightarrow \infty}{\int_{[c,d]}{f_n(x)dx}} = \int_{[c,d]}{f(x)dx}.\]

$f_n(x)$有界,因此$\int_{g(\alpha)}^{g(\beta)}{f_n(x)dx}=\int_{\alpha}^{\beta}{f_n(g(t))g'(t)dt}$,令$n \rightarrow \infty$有

\[\int_{g(\alpha)}^{g(\beta)}{f(x)dx}=\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}.\]