本节在$L^2(E)$中引入了内积m角度等概念,这一切表明$L^2(E)$是一个Hilbert空间.

这一节有不少概念,下面先介绍概念:

1. 内积:对于$f,g \in L^2(E)$,$fg \in L^1$,令$<f,g>=\int_{E}{f(x)g(x)dx}$.

2. 正交系:若$f,g \in L^2(E)$,且$<f,g>=0$,则称$f$与$g$正交;若$\{\varphi_{\alpha}\} \subset L^2(E)$,中任意的两个元都正交,则称$\{\varphi_{\alpha}\}$是正交系.若还有$\Vert{\varphi_{\alpha}}\Vert_2=1$,则称$\{\varphi_{\alpha}\}$为规一正交系.

若$\{\varphi_{\alpha}\} \subset L^2(E)$,$\Vert{\varphi_{\alpha}}\Vert_2 \neq 0$,则$\{\varphi_{\alpha}/\Vert{\varphi_{\alpha}}\Vert_2\}$即为规一化正交系

3. Fourier级数与Fourier系数:设$\varphi_k$是$L^2(E)$中的规一化正交系,$f \in L^2(E)$,称

\[c_k=<f, \varphi_k>=\int_{E}{f(x)\varphi_k(x)dx}\]

为$f$(关于$\{\varphi_k\}$)的Fourier系数.称$\sum_{1}^{\infty}{c_k\varphi_k(x)}$为$f$(关于$\{\varphi_k\}$)的广义Fourier级数,记为$f \sim \sum_{1}^{\infty}{c_k\varphi_k}$.

4. 完全系:设$\{\varphi_k\}$是$L^2(E)$中的正交系,若$L^2(E)$中不再存在非零元能与一切$\varphi_k$正交,则称此$\{\varphi_k\}$是$L^2$中的完全系.即若$f \in L^2(E)$,且$<f, \varphi_k>=0$,$k=1,2,\cdots$,则必有$f(x)=0$ a.e..

5. 线性无关:设$\varphi_1(x),\varphi_2(x),\cdots, \varphi_k(x)$是定义在$E$上的函数,如果从$a_1\varphi_1(x)+a_2\varphi_2(x)+\cdots+a_k\varphi_k(x)=0$ a.e.,可推出$a_i=0$,则称函数$\varphi_i$是线性无关的,对于由无限个函数组成的函数系,如果其中任意有限个函数都是线性无关的,那么称此函数系是线性无关的.

这一节的内容完全可以用于泛函分析,下面讨论$L^2(E)$的一些性质.

1. 内积的连续性:若在$L^2(E)$中有$\lim{\Vert{f_k-f}\Vert_2}=0$,则对任意$g \in L^2(E)$,有$\lim{<f_k,g>}=<f,g>$.

使用Schwartz不等式:

\[|<f_k,g> – <f,g>|=|<f_k-f,g>| \le \Vert{f_k-f}\Vert_2\Vert{g}\Vert_2.\]

2. $L^2(E)$中任一规一化正交系都是可数的.

$\{\varphi_{\alpha}\}$为规一化正交系,则$\Vert{\varphi_{\alpha}-\varphi_{\beta}}\Vert_2^2=2$,而$L^2(E)$是可分空间,存在可数稠密集,故$\{\varphi_{\alpha}\}$是可数的,这里的证明有些不明白,$\{\varphi_{\alpha}\}$与可数稠密集是什么关系?

3. 设$\{\varphi_{i}\}$是$L^2(E)$中的规一化正交系,$f \in L^2(E)$,取定$k$,作$f_k(x)=\sum_{1}^{k}{a_i\varphi_i(x)}$,$a_i \in R$,则当$a_i=c_i=<f,\varphi_i>$时,使得$\Vert{f-f_k}\Vert_2$达到最小值.

(最小二乘法)$\Vert{f}\Vert_2^2=\sum{a_i^2}$,

$\Vert{f-f_k}\Vert_2^2 = \Vert{f}\Vert_2^2-\sum_{1}^{k}{(c_i-a_i)^2} – \sum_{1}^{k}{c_i^2}$.

令$S_k(x)=\sum_{1}^{k}{c_i\varphi_i(x)}$,则$\Vert{f-S_k}\Vert_2^2=\Vert{f}\Vert_2^2-\sum_{1}^{k}{c_i^2}$.

4. Bessel不等式:设$\{\varphi_k\}$是$L^2(E)$中的规一化正交系,且$f \in L^2(E)$,则$f(x)$的广义Fourier系数$\{c_k\}$满足

\[\sum_{1}^{\infty}{c_i^2} \le \Vert{f}\Vert_2^2.\]

由前面结论可以得出此不等式.

5. Rieze-Fischer定理:设$\{\varphi_k\}$是$L^2(E)$中的规一化正交系,若$\{c_k\}$是满足$\sum_{1}^{\infty}{c_k^2}<\infty$的任一实数列,则存在$f \in L^2(E)$,使得$<f,\varphi_k>=c_k$,$k=1,2,\cdots$.

令$S_k(x)=\sum_{1}^{k}{c_i\varphi_i(x)}$,则$\{S_k\}$为$L^2(E)$中基本列,存在$f \in L^2(E)$,$\lim{\Vert{f – S_k}\Vert_2}=0$,由此可得$\langle{f,\varphi_k}\rangle=c_k$.

由此可以得出如下结论:

(1)$L^2(E)$中的元$f$的广义Fourier级数总是在$L^2$中收敛于某个$g \in L^2$.

(2)$g$不一定是$f$,书中给出了一个例子.

这一情形类似于三维欧氏空间中只取两个正交向量组成正交系,但不组成正交基一样,使得不同的向量可能具有相同的坐标.这段话如何理解?

为排除这一情形,引入完全系的概念.

对于$R^3$,$\vec{a} \perp \vec{b}$,

\[\begin{aligned}
\vec{v_1} &= x\vec{a} + y\vec{b} + z_1\vec{c}\\
\vec{v_2} &= x\vec{a} + y\vec{b} + z_2\vec{c}
\end{aligned}\]

这里$\vec{c} \perp \vec{a}$,$\vec{c} \perp \vec{b}$,$\vec{v_1}$对$(\vec{a},\vec{b})$的广义Fourier级数为$x\vec{a}+y\vec{b}$.$\vec{v_2}$也是,有了$\vec{c}$,就不一样了,$\vec{v_1} \neq \vec{v_2}$,必有$(x,y,z_1) \neq (x,y,z_2)$.

6. 设$\{\varphi_k\}$是$L^2(E)$中的规一化的完全系,$f \in L^2(E)$,令$c_k=\langle{f,\varphi_k}\rangle$,则

\[\lim_{k \rightarrow \infty}{\Vert{\sum_{1}^{k}{c_i\varphi_i} – f}\Vert_2}=0.\]

也就说在$L^2(E)$中,$f$的广义Fourier级数收敛于$f$,当$\{\varphi_i\}$为完全系时.

\[\begin{gather*}
\langle{g,\varphi_i}\rangle=c_i,\\
\langle{f-g,\varphi_i}\rangle=\langle{f,\varphi_i}\rangle-\langle{g,\varphi_i}\rangle=0,\\
f(x)=g(x) a.e.
\end{gather*}\]

作为一个例子,三角函数系是完全系:设$E=[-\pi,\pi]$,则三角函数系$1, \cos{x}, \sin{x},\cdots, \cos{kx}, \sin{kx}, \cdots$是$L^2(E)$中的完全系.

这意味着在微积分课程中,$f=\sum_{0}^{\infty}{(a_k\cos{kx} + b_k\sin{kx})}$时,$f$在$L^2(E)$意义下是可以取等号的.

首先应证明该函数系是一个线性无关的,正交的.$\int_{-\pi}^{\pi}{\cos{kx}\sin{kx}dx}=0$应该没有问题.接下来证明$f \in L^2(E)$.$\langle{f,\varphi_k}\rangle=0$,则$f=0$ a.e.,分两步,首先是$f$为连续的,然后是$f \in L^2(E)$.

(i)$f(x)$是$[-\pi,\pi]$上的连续函数,一切Fourier系数都是0,意味着$\langle{f, \varphi_k}\rangle=0$,需证明$f \equiv 0$.

开集上的连续函数存在最大值$f(x_0)=M$,$x \in (x_0-\delta,x_0+\delta)$时,$f(x)>\frac{1}{2}M$.

\[t(x)=1 + \cos{(x – x_0)}-\cos{\delta},\]

则$t^n(x)$是一个三角多项式(关于$\cos{x}$,$\sin{x}$的多项式),从而

\[\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)t^n(x)dx}=0.\]

但是$x \in (x_0 – \frac{\delta}{2},x_0+\frac{\delta}{2})$时,$\exists r>1$,使$t(x) \ge r$,于是

\[\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)t^n(x)dx} \ge \int_{x_0-\frac{\delta}{2}}^{x_0+\frac{\delta}{2}}{f(x)t^n(x)dx} \ge \frac{M}{2} \cdot r^n \cdot \delta \rightarrow \infty.\]

(ii)$f \in L^2(E)$时,$g(x)=\int_{-\pi}^{x}{f(t)dt}$为$[-\pi,\pi]$上的绝对连续函数,$g(-\pi)=g(\pi)=0$,

\[G(x)=g(x)-\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{g(x)dx},\]

然后证明$G(x)$的一切Fourier系数为0,从而$G(x) \equiv 0$,$f(x)=g'(x)$ a.e..

\[\int_{-\pi}^{\pi}{g(x)\sin{kx}dx} = g(x)\frac{-\cos{kx}}{k}|_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{k}\int_{-\pi}^{\pi}{g'(x)(-\cos{kx})dx}=0.\]

分部积分法:$(fg)’=f’g+fg’$,$fg = \int{f’g}+\int{fg’}$.

7. $L^2(E)$中的正交系$\{\varphi_k\}$一定是线性无关的,这对于一般的赋范线性空间也是成立的.

对于一般的线性无关系,可以通过Gram-Schmidt方法进行正交化.

$\psi_i$为线性无关函数系.

$\varphi_1=\psi_1$,对于$\varphi_2$,$\langle{\varphi_1,\varphi_2}\rangle=0$,令$\varphi_2=a\psi_1+b\psi_2$,由此得到$\langle{a\psi,\varphi_1}\rangle+\langle{b\psi_2,\varphi_1}\rangle=0$,$\frac{a}{b}=-\frac{\langle{\psi_2,\varphi_1}\rangle}{\langle{\varphi_1,\varphi_1}\rangle}$,令$\lambda=-\frac{\langle{\psi_2,\varphi_1}\rangle}{\langle{\varphi_1,\varphi_1}\rangle}$,则

\[\varphi_2 = \psi_2 – \frac{\langle{\psi_2,\varphi_1}\rangle}{\langle{\varphi_1,\varphi_1}\rangle}\psi_2.\]

依次类推,$\varphi_k=a_1\varphi_1+\cdots+a_{k-1}\varphi_{k-1}+\psi_k$,通过$\langle{\varphi_k,\varphi_i}\rangle=0$,依次求得$a_i$.

8. 设$\{\varphi_i\}$是$L^2(E)$中的规一化正交系,若对任意的$f \in L^2(E)$以及$\epsilon>0$,存在$\{\varphi_i\}$中的线性组合.

\[g(x)=\sum_{j=1}^{k}{a_j\varphi_{i_j}(x)},\]

使得$\Vert{f-g}\Vert_2 < \epsilon$,则$\{\varphi_i\}$是完全系.

反证法,$f \neq 0$,$\langle{f,\varphi_i}\rangle=0$,$\Vert{f}\Vert_2>0$.

一方面,

\[|\langle{f,f-\sum{a_j\varphi_{i_j}}}\rangle| \le \Vert{f}\Vert_2\Vert{f-\sum{a_j\varphi_{i_j}}}\Vert_2\]

可以任意小,另一方面,

\[|\langle{f,f-\sum{a_j\varphi_{i_j}}}\rangle|=|\langle{f,f}\rangle – \sum{a_j\langle{f,\varphi_{i_j}}\rangle}|=\langle{f,f}\rangle=\Vert{f}\Vert_2^2.\]

矛盾.

注意到$L^2(E)$中存在可数稠密集$\Gamma$,在$\Gamma$中取出线性无关的向量,然后进行正交化,按照这个定理,就可以获得$L^2(E)$的一个完全正交系.