集合是一个不加定义的概念,就像几何中的点,线之类的.首先引入的概念是”属于”和”相等”,这是集合论的两个基本关系.他们也是通过外延公理相互联系.

公理1.1 [外延公理(Axiom of extension)] 两个集合相等,当且仅当他们有相同的元素.

外延公理界定了一个集合的元素,它非常明显,却绝不寻常:

我们考虑人类之间的关系:设$x \in A$,如果$x$是$A$的祖先,此时,”仅当(only if)”部分是成立的,”当(if)”部分不成立.也就是有相同的祖先,不一定能得出相同的$A$.

属于是”元素”和集合之间的关系,不过应该注意,我们这里的元素是没有预先定义,足够宽泛.集合也可以作为元素.有了属于,我们可以考虑集合之间的关系:$x \in A \Rightarrow x \in B$,则称$A \subset B$.包含关系满足:

(1)自反的:$A \subset A$;

(2)传递的:$A \subset B$,$B \subset C$ $\Rightarrow$ $A \subset C$;

(3)反对称的:$A \subset B$不能得出$B \subset A$,如果两者同时成立,必有$A = B$,这也可以认为是外延公理的等价描述.

显然,”属于”和”包含”是完全不同的东西:”属于”一般来说不是自反的,也不满足传递性.对于满足$A \in A$这样的集合,一般情况不在我们的考虑之内.

要想得到更多的集合,我们需要其他的公理,还需要一些基本的逻辑:”属于”和”等于”是两个基本的语句,其余的通过以下七个组合得到:and(且);or(或者,包括either … or …);nnot(非);if – then -(如果…就…);if and only if(当且仅当);for some(对某些…);for all(对所有…).

公理1.2 [Axiom of specification] 对于每一个集合$A$和条件$S(x)$,存在集合$B$,使得$B$中的元素$x$属于$A$,且$S(x)$成立.

我搜索了一下网络,大部分把”Axiom of specification”翻译为”分类公理”.有此公理,通常把$B$记作$B=\{x \in A: S(x)\}$,这里有一个极为有趣也非常有意义的集合:$B=\{x \in A: x \notin x\}$.对于这个集合,必有$B \notin A$,证明比较简单,反证法即可,书中给出了详细讨论,这意味着:不存在万物之集,或者说,不存在包含一切的集合,这实际上就是罗素悖论的另一个说法.而哥德尔关于数学基础的一些结论,说明了存在缺陷是世界的本性,上帝也不是万能的,有阴才有阳.

为了有具体的讨论对象,我们需要构造出一些集合.如果我们假设:存在一个集合,那么由axiom of specification可知,存在一个不包含任何元素的集合$\emptyset$,$\emptyset \subset A$对任意的集合$A$成立.这几个结论的证明有些意思,书中也给出了详细的描述,它涉及到了对于空集的处理:反证,如果不成立,那就是存在一个元素$x \in \emptyset$,但是$x \notin A$,但是这样的元素不存在.

公理1.3 [Axiom of pairing] 对任意两个集合,存在一个集合,使得这两个集合是该集合的元素.

用数学语言描述是:$\forall a,b$,$\exists A$,$a \in A$,$b \in A$.$B=\{a,b\}$.

有了这个公理,我们可以构造出无限多个集合了:

\[\begin{gather*}
\emptyset,\{\emptyset\},\{\{\emptyset\}\},\cdots\\
\{\{\emptyset\},\{\{\emptyset\}\}\},\cdots
\end{gather*}\]

这里面的任意两个集合互不相等.这是书中的一道习题,至于严格证明他们互不相等,目前还没有思路.我觉得至少应该证明:上述公理中的集合$A$和$a$,$b$是不相同.$\emptyset$和$\{\emptyset\}$不相等比较好说明:$\emptyset$不包含任何元素,而$\{\emptyset\}$包含了一个元素:$\emptyset$,两者自然不相等,习题中的,我觉得只能是通过外延公理,一层一层脱去花括号,最后归结到这个结论上.