有序对:对于$A=\{a,b,c,d\}$,如何来定义一个次序呢?对于一个次序$c,b,d,a$,和如下集合有一个一一对应关系:

\[\{\{c\},\{c,b\},\{c,b,d\},\{c,b,d,a\}\}.\]

$a$和$b$的有序对定义为$(a,b)=\{\{a\}, \{a,b\}\}$.这里需要证明这个定义的合理性,也就是,若$(a,b)=(x,y)$,必有$a=x$,$b=y$.书中给出了详细的证明.

接下里的问题是:对于集合$A$,$B$,是否存在集合包含所有的$(a,b)$,其中$a \in A$,$b \in B$,通过说明$(a,b) \in P(P(a \cup B))$,可以证明这样的集合石存在的,由此引出了笛卡尔积的定义,反过来,对于任一笛卡尔积,都能表示为$A \times B$的形式,书中同样给出了讨论.

习题:

1. $(A \cup B) \times X = (A \cup X) \cup (B \cup X)$;

2. $(A \cap B) \times (X \cap Y) = (A \times X) \cap (B \times Y)$;

3. $(A-B) \times X = (A \times X) – (B \times Y)$.

 

1. $\forall (a,b) \in (A \cup B) \times X$ $\Rightarrow$ $a \in A \cup B$,$b \in X$ $\Rightarrow$ $a \in A$或$a \in B$ $\Rightarrow$ $(a,b) \in A \times X$或$(a,b) \in B \times X$ $\Rightarrow$ $(a,b) \in (A \times X) \cup (B \times X)$;反之也是成立的.

2. $(a,b) \in (A \cap B) \times (X \cap Y)$ $\Leftrightarrow$ $a \in A \cap B$,$b \in X \cap Y$ $\Leftrightarrow$ $(a,b) \in A \times X$,$(a,b) \in B \times Y$ $\Leftrightarrow$ $(a,b) \in (A \times X) \cap (B \times Y)$.

3. $(a,b) \in (A-B) \times X$ $\Leftrightarrow$ $a \in A-B$,$b \in X$ $\Leftrightarrow$ $a \in A$,$a \notin B$ $\Leftrightarrow$ $(a,b) \in A \times X$,$(a,b) \notin B \times X$ $\Leftrightarrow$ $(A \times X)-(B \times X)$.

我们看看:$(A \cap B) \times X = (A \times X) \cap (B \times X)$成立吗?

$(a,b) \in (A \cap B) \times X$ $\Leftrightarrow$ $a \in A \cap B$,$b \in X$ $\Leftrightarrow$ $a \in A$且$a \in B$,$b \in X$ $\Leftrightarrow$ $(a,b) \in A \times X$, $(a,b) \in B \times X$ $\Leftrightarrow$ $(a,b) \in (A \times X) \cap (B \times X)$.

关系:关系是一组有序对的集合,$a$和$b$有关系$R$是指$(a,b) \in R$.

几个例子:相等关系$(x,x) \in X \times X$;属于关系$(x,A) \in X \times P(X)$.

一种特殊的关系:等价关系是指满足自反,对称和传递三个性质的关系.所谓自反是指$aRa$,对称是指$aRb\Rightarrow bRa$;传递是指$aRb$,$bRc$ $\Rightarrow$ $aRc$.这里书中有一道题目,实际上是要求说明这三条性质不能从其中两条件性质推出第三条.这里试着做一下:

(1)集合的包含关系满足自反和传递,不一定满足对称.

(2)考虑$X=\{1,2,3\}$,$R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(2,1),(3,2)\}$,那么自反成立,对称也是成立的,但是不满足传递:$1R2$,$2R3$,无法得到$1R3$.

(3)接下来需要构造一个自反不成立,其他两个性质成立的关系,可是我们应该注意到,一旦有两个不同的$a$,$b$,满足$aRb$,那么根据对称$bRa$,根据传递,必有$aRa$和$bRb$.于是我们需要的是一个小队孤立的$a$.构造如下:$X=\{1,2,3\}$,R=\{(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)\},注意到自反不成立,因为存在$1\in A$,$1R1$不成立.对称和传递是成立的.

等价关系在数学中具有特殊重要性,尤其在抽象代数中.等价关系和集合的划分有着直接的联系,首先引进几个概念和记号.

集合$X$的划分是指一簇集合$\mathscr{C}$,这簇集合的并集等于$X$,但是集合簇$\mathscr{C}$是两两不相交的.

所谓等价关系$R$的$x$的等价类是指所有和$x$等价的元素组成的集合,记作$x/R$:$x/R=\{y \in X:xRy\}$.我们把$X$的所有等价类组成的集合记作$X/R$.

我们说的等价类和集合划分的关系实际上可以用等式

\[\mathscr{C} = X/R\]

表示:等价关系$R$生成的等价类的集合是$X$的一个划分,同样任何一个划分$\mathscr{C}$都能够决定一个等价关系(记作$X/\mathscr{C}$).

证明参考课本,难度不大.