首先是概念.
(1)$f$为$X$到$Y$的映射,定义$f^{-1}$为$P(Y)$到$P(X)$的映射,即$B \subset Y$,
\[f^{-1}(B) = \{x \in X:f(x) \in B\},\]
这里$f^{-1}(B)$称为$B$在$f$下的逆像(inverse image).$f^{-1}$还有另一个含义:从$f$的值域到$X$的一个函数,$f^{-1}(y)=\{x\}$$\Leftrightarrow$$f(x)=y$,不过这只是对于一一对应成立.
(2)$f$是$X$到$Y$的映射,$g$是$Y$到$Z$的映射,可以定义一个$X$到$Z$的映射$h$如下:$h(x)=g(f(x))$,$x \in X$,称$h$为$f$与$g$的复合映射.
下面是一些重要的关系式:
(1)$\{A_i\}$为$X$的子集簇,则
\[\begin{gather*}
f(\bigcup_{i}{A_i}) = \bigcup_{i}{f(A_i)} \\
f(\bigcap_{i}{A_i}) \subset \bigcap_{i}{f(A_i)}
\end{gather*}\]
第一个关系式:$y \in f(\bigcup_{i}{A_i})$$\Leftrightarrow$$\exists x \in \bigcup_{i}{A_i}$,$f(x)=y$$\Leftrightarrow$$x \in A_{i_0}$,$f(x)=y$$\Leftrightarrow$$y \in f(A_{i_0})$$\Leftrightarrow$$y \in \bigcup_{i}{f(A_i)}$.
第二个关系式:$y \in f(\bigcap_{i}{A_i})$$\exists x \in \bigcap_{i}{A_i}$,$f(x)=y$$\Rightarrow$$y \in f(A_i)$,$\forall i$$\Leftrightarrow$$y \in \bigcap_{i}{f(A_i)}$.
第二个等式之所以不能成立等式,原因在于$y \in f(A_i)$,$\forall i$,是无法得出$\exists x \in \bigcap_{i}{A_i}$,$f(x)=y$.除非映射是一一的.下面是一个例子:$A_1=\{1,2\}$,$f(1)=1$,$f(2)=2$,$A_2=\{1,3\}$,$f(1)=1$,$f(3)=1$,此时$f(A_1)=\{1,2\}$,$f(A_2)=\{1,2\}$,这说明$2 \in f(A_2)$,但是不存在$x \in A_1 \cap A_2$,使$f(x)=2$.
(2)$f$是$X$到$Y$上(onto)的函数的充要条件是$Y$的任一非空子集在$f$下的逆像是$X$的非空子集.
$\Rightarrow$ 设$y$属于$Y$的任一非空子集B,则由于$f$是$X$到$Y$上(onto)的,则存在$x$,使得$f(x)=y$,于是$x \in f^{-1}(y)$,$f^{-1}(y) \subset f^{-1}(B)$,$f^{-1}(B)$非空.
$\Leftarrow$ 考虑单元素集$\{y\}$,由于$f^{-1}(y)$非空,存在$x \in f^{-1}(y)$,则$f(x)=y$.
$f$是一一对应(one-to-one)的充要条件是$f$的值域中的每一个单元素集合在$f$下的逆像是$X$的单元素集合.
(3)$B \subset Y$,$f(f^{-1}(B)) \subset B$.$f$是$X$到$Y$上(onto)的函数,$f(f^{-1}(B))=B$.
证明难度不大,书中给出详细的过程.
(4)$A \subset X$,则$A \subset f^{-1}(f(A))$.$f$是一一对应,则$A = f^{-1}(f(A))$.
证明难度不大,书中给出详细的过程.
(5)$\{B_i\}$为$Y$的子集簇,则
\[f^{-1}(\bigcup_{i}{B_i}) = \bigcup_{i}{f^{-1}(B_i)};\quad f^{-1}(\bigcap_{i}{B_i}) = \bigcap_{i}{f^{-1}(B_i)}.\]
(6)$f^{-1}(Y-B) = X – f^{-1}(B)$;
(7)函数的复合不满足交换律,但是满足结合律:$h(gf)=(hg)f$.
(8)把逆映射和复合映射联系起来的等式特别重要.$f$是$X$到$Y$的映射,$g$是$Y$到$Z$的映射,此时,$f^{-1}$是$P(Y)$到$P(X)$的映射,$g^{-1}$映$P(Z)$到$P(Y)$,此时,$gf$与$f^{-1}g^{-1}$都有意义,且有$(gf)^{-1}=f^{-1}g^{-1}$.
这里的一些关系可以推广到更一般的关系上去,书中给出了详细的过程,这里不叙述了.考虑$X$上的关系:$I$为$X$上的相等关系,此时$I$类似于乘法单位元的作用,$IR=RI=R$对于$X$中的每一个关系成立,使用代数形式来表示等价关系为:(i)自反:$I \subset R$;(ii)对称:$R \subset R^{-1}$;(iii)传递:$RR \subset R$.
习题:$f$为$X$到$Y$的映射:(i)设$g$是$Y$到$X$的映射,若$gf$是$X$上的恒等映射,则$f$是一一对应,而$g$是$Y$到$X$上(onto)的.(ii)对$X$的任意子集$A$,$B$,$f(A \cap B)=f(A) \cap f(B)$成立的充要条件是$f$是一一对应;(iii)对$X$的任意子集$A$,$f(X-A) \subset Y-f(A)$成立的充要条件是$f$是一一对应;(iv)对$X$的任意子集$A$,$Y-f(A) \subset f(X-A)$成立的充要条件是$f$是$X$到$Y$上(onto)的映射.
(i)设$f(x_1)=f(x_2)$ $\Rightarrow$ $gf(x_1)=gf(x_2)$ $\Rightarrow$ $x_1=x_2$,从而$f$是一一对应;对于$\forall x \in X$,令$y=f(x)$,则$g(y)=gf(x)=x$,即$g$是$Y$到$X$上的.
(ii)设$f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$,对任意$A$,$B$成立,欲证$f$是一一对应,设$f(x_1)=f(x_2)$,令$A=\{x_1\}$,$B=\{x_2\}$,则$f(A) \cap f(B) \neq \emptyset$,设$y \in f(A) \cap f(B)$,这意味着$A \cap B \neq \emptyset$,这只有在$x_1=x_2$时才可能.
反之,如果$f$是一一对应.$\forall y \in f(A \cap B)$ $\Leftrightarrow$ $\exists x \in A \cap B$,使$y=f(x)$ $\Leftrightarrow$ $\exists x \in A$且$x \in B$ $\Leftrightarrow$ $y \in f(A)$,且$y \in f(B)$(这一步使用了$f$是一一的)$\Leftrightarrow$ $y \in f(A) \cap f(B)$.
(iii)设$f(X-A) \subset Y-f(A)$对任意$A \subset X$成立,欲证$f$是一一对应,设$f(x_1)=f(x_2)=y$,令$A=\{x_1\}$,我们要证明$x_2 \in A$,从而$x_1=x_2$,若$x_2 \neq A$,则$y \notin Y – f(x_1)$,$x_2 \in X-A$,从而$y \in f(X-A)$,矛盾.
反之,若$f$是一一对应,$\forall y \in f(X-A)$ $\Rightarrow$ $\exists x \in X-A$,使$f(x)=y$ $\Rightarrow$ $x \notin A$ $\Rightarrow$ $f(x) \notin f(A)$ (这里面使用了$f$是一一的) $\Rightarrow$ $f(x) \in Y-f(A)$.
(iv)$Y-f(A) \subset f(X-A)$,$\forall y \in Y$,我们要找一个$x$,使$f(x)=y$.对于$B=Y-\{y\}$,令$A=f^{-1}(B)$,则$f(A)=B$ $\Rightarrow$ $Y-f(A)=\{y\} \subset f(X-A)$ $\Rightarrow$ $\exists x \in X-A$,使$f(x)=y$.
反之,$f$是$X$到$Y$上(onto)的,则$\forall y \in Y-f(A)$,设$f(x)=y$ $\Leftrightarrow$ $y \notin f(A)$ $\Rightarrow$ $x \notin A$ $\Leftrightarrow$ $x \in X-A$ $\Rightarrow$ $f(x) \in f(X-A)$.
上面的推导过程中有几个$\Rightarrow$,这也是关系式为$\subset$而不是$=$的原因所在,这里简单讨论:$f(x) \notin f(A) \Rightarrow x \notin A$,若$x \in A \Rightarrow f(x) \in f(A)$.反过来是不一定成立的.也就是$f(x) \in f(A)$,不一定能够得出$x \in A$,因为有可能有另一个$x’$,使得$f(x’)=f(x)$.