数是什么?这一节开始从集合论的角度建立起自然数体系,我个人的看法是:整个过程中有些思想方法值得学习,其余的可以仅仅做个了解,或者说类似书中引言的说法(read it,absorb it, and forget it),掌握之后,就可以把它忘记了,我们在使用的时候,继续遵循我们一致接收的中小学教育即可.北师大郇中丹老师的一个网络课程(数学分析,强烈推荐,即使不看其他的,至少应该看看第一讲绪论,这一讲虽然不涉及任何数学知识,但是很精彩!)中表示过这样一个意思(在第二讲集合论初步中):数学就是把我们生活中的一些事实说明白(我稍微扩充了一下).那么这一节以及接下来的几节内容,就是为了把数说明白,为数建立更严密的逻辑基础.我认为它有理论上的重要性,对于应用基本上意义不大.书中作了一个类比,我觉得很能说明一些东西.我们如何来定义”米”这个单位呢?或者如何定义长度呢?我们是通过指定一个物体的长度作为基准,然后所有其他的长度与之作比较.这里面,其实我们还有一个疑问,长度本身又是什么含义?在这里,我们其实并没有给出长度或者”米”本身的明确的定义,我们通过比较来给出我们需要的.

类似的,我们如何来定义自然数呢?我们其实无法说出自然数是什么?但是我们可以通过一些关系建立起自然数.例如,我们不知道2到底是什么?但是我们知道它是排在1后面的,在3前面的,2是1的后继,3是2的后继,这说明我们需要一个后继的概念,用什么方法来定义这个后继呢:$x^+=x \cup \{x\}$.这是目前常用的一个方法,首先这个方法只涉及集合的概念,需要的很少,我们再定义$0=\emptyset$,于是通过$\emptyset$,并集等就得到了自然数,这里我们需要一个公理:

公理[无限公理(Axiom of infinity)] 存在一个集合,包含0和它的每一个元素的后继(successor).

集合$A$称为successor set,如果$\emptyset \in A$,且$\forall x \in A$,必有$x^+ \in A$.于是无限公理可以描述为:存在一个successor set $A$.

任一非空的successor簇的交集是一个successor set.证明如下:令$A=\bigcup_{i}{A_i}$,$i \in I$,$I$非空,由于$0 \in A_i$,$\forall i \in I$,于是$0 \in \bigcap_{i}{A_i}$,也就是$0 \in A$.设$x \in A$,则$x \in A_i$,$\forall i \in I$,于是$x^+ \in A_i$,$\forall i \in I$,故$x^+ \in \bigcap_{i}{A_i}$.

由此我们可以令$\omega$为每一个successor set的子集,这样的$\omega$是存在的并且是唯一的.$\omega$中的元素就是自然数.

书中的这一节的后面是定义了一个序列sequence,并且把交,并,笛卡尔积推广到序列上,这里不讨论了.