对于很多有限情形下的操作,我们基本上不需要任何犹豫,但是在无限的情况下,很多操作需要精心考虑(其实在陶哲轩的《实分析》一书的第一章有不少例子).例如本节中出现的选择公理,它主要是针对无限的.
一个集合,或者是空集,或者非空,对于非空集合,必然存在一个元素.对于两个集合$X$和$Y$,对于它们的笛卡尔积$X \times Y$,如果$X$和$Y$中至少有一个为$\emptyset$时,笛卡尔积为$\emptyset$,如果都不是空集,$X \times Y$必定不是空集.这个结论很容易推广到有限个$\{X_i\}$的情形.可以对于无限个$\{X_i\}$的情形,我们需要本节的选择公理(Axiom of choice).
公理[选择公理]：非空集合的非空簇的笛卡尔乘积是非空的(The Cartesian of a non-empty family of non-empty sets is non-empty).
用数学语言表示:考虑集合簇$\{X_i\}_{i \in I}$,这里每一个$X_i$都是非空集合,并且指标集$I$也是非空,此时存在一簇元素$\{x_i\}$,$i \in I$,使得$x_i \in X_i$,对每一个$i \in I$.
设$\mathscr{C}$是非空集合簇,此时我们完全可以把$\mathscr{C}$作为指标集,于是可以应用选择公理,这样就存在一个定义在$\mathscr{C}$上的映射$f$,只要$A \in \mathscr{C}$,就有$f(A) \in A$.特别地,令$\mathscr{C}$为非空集$X$的所有非空子集组成的集合,也就是$P(X)-\{\emptyset\}$,于是存在映射$f$,$\forall A \in \mathscr{C}$,$f(A) \in A$,这个映射称为$X$上的选择映射(choice function).直观上说,我们的映射$f$能够从每一个集合中选择出一个元素,这里也是”选择公理”名称的由来.有限的情形是可以证明的,而对于无限情形,则有这个公理来保证.
设$\mathscr{C}$是两两不相交的非空集合簇,此时存在集合$A$,使得$A \cap C$是单元素集合,$\forall C \in \mathscr{C}$.
作为选择公理的应用,我们证明如下结论:若集合$X$是无限的,那么存在一个子集对等于$\omega$.直观的,既然$X$非空,那么存在$x_0 \in X$,由于$X$不与$1$对等,$X-\{x_0\}$是非空的,于是存在$x_1 \in X – \{x_0\}$,如此继续,存在$x_2 \in X – \{x_0,x_1\}$,等等,这将形成一个无限序列$\{x_n\}$,这里$x_n$互相不等.这里出现了一个需要无限选择的情形,需要依赖于选择公理.书中给出了完整的过程.作为选择公理的应用,这里也给出完整过程.
考虑$X$中的选择映射$f$:$P(X)-\{\emptyset\} \to X$,$f(A) \in A$,$\forall A \in \text{dom}{f}$.令$\mathscr{C}$表示$X$中所有的有限子集组成的集合簇.由于$X$是无限的,$\forall A \in \mathscr{C}$,$X-A$非空,因而$X-A \in \text{dom}{f}$.接下来定义映射$g$:$\mathscr{C} \to \mathscr{C}$,$g(A)=A \cup \{f(X-A)\}$,我们从$\emptyset$出发,对于$g$使用归纳原理,存在$\omega$到$\mathscr{C}$的映射$U$,使得$U(0)=\emptyset$,$U(n^+)=U(n) \cup \{f(X-U(n))\}$,$\forall n \in \omega$.此时我们定义映射$v(n)=f(X-U(n))$,只要证明$v$是一个$\omega$到$X$的一个一一映射.那么$\omega$对等于$X$的一个子集($v$的值域).这只需要注意到:
(i)$v(n) \notin U(n)$,$\forall n \in \omega$.理由:因为$f(X-U(n)) \in X-U(n)$,于是$v(n) \notin U(n)$.
(ii)$v(n) \in U(n^+)$,$\forall n \in \omega$.$U(n^+)$的定义.
(iii)对于自然数$n$,$m$,$n \le m$,则$U(n) \subset U(m)$.这同样可以由$U(n)$的定义得到,$U(m)$可以通过$U(n)$添加一个个元素得到的.
(iv)对于自然数$n$,$m$,$n<m$,则$v(n) \neq v(m)$.因为根据(ii)和(iii),$v(n) \in U(m)$,而根据(i),$v(m) \notin U(m)$,因此两者不可能相等.
这里最后的(iv)就是说明$v$把不同的自然数映射到$X$中不同的元素.因为任意两个不同的自然数,必有一个是严格小于另一个的.
上述结论一个更重要的推论,它涉及到了无限的本质:一个集合是无限的,当且仅当它能够对等于一个真子集.前面已经证明过有限集合不能和真子集对等;下面假设$X$是无限的,设$v$是$\omega$到$X$的一一映射(单射),若$x$属于$v$的值域,即$x=v(n)$,令$h(x)=v(n^+)$,若$x$不属于$v$的值域,则令$h(x)=x$,此时$h$是$X$到$X$的一一映射,并且$h$的值域是$X$的真子集($v(0) \notin \text{ran}{(h)}$).Dedekind使用这个结论来定义无限集.