每天做一做数学题, 数量不限. 每一道题目给出问题, 来源(这里只能给出直接来源, 无法给出原始来源), 解答, 如果可能给出分析.

问题2012052401

(a)If $a$ is rational and if $x$ is irrational, prove that $a+x$ is irrational, and if $a \neq 0$, that $ax$ is irrational.

(b)Show that between any two rational numbers there exists at least one irrational number and, consequently, infinitely many.

来源

Introduction to Calculus and Analysis

分析

对于这道题目的关键在于有理数对于有理运算是封闭的. 或者说有理数构成一个数域.  很多和无理数相关的问题, 我们需要转化到有理数去考虑, 原因在于我们对于有理数掌握的更多.

解答

(a) 反证法. 假设$y = a+x$是有理数, 那么$x = y-a$是有理数, 这与题设矛盾. 同样如果$z = ax$是有理数, 则$x = z/a$是有理数.

(b) 设有理数$a < b$, 我们需要证明在$a$, $b$之间存在无理数, 注意到$\sqrt{2}>1$是无理数, $b-a$是有理数, 根据(a)的结论, $x = a + (b-a)/\sqrt{2}$是无理数, 而它满足$a < x < b$. 我们可以无限对分区间$[a, b]$, 这些区间的端点都是有理数, 在每一个区间中都可以找到一个无理数, 而且这些无理数互不相等.

问题2012052402

Prove that the following numbers are not rational: (a) $\sqrt{3}$. (b) $\sqrt{n}$, where the integer $n$ is not a perfect square, that is, not the square of an integer. (c) $\sqrt[3]{2}$, (d) $\sqrt[p]{n}$, where $n$ is not a perfect $p$th power.

来源

Introduction to Calculus and Analysis

分析

这里的证明需要一些整数理论的知识, 例如算术基本定理. 我们对无理数了解的不多, 于是很多类似的问题都使用反证法, 通过有理数的相关性质来解决, 也就是说方法大致和经典的证明$\sqrt{2}$为无理数的方法一致.

解答

(a) 假设$\sqrt{3} = a/b$是有理数, 这里$a$和$b$互素. 于是有$a^2 = 3b^2$, 从$(a, b)=1$, 可知$3|a$, 于是设$a = 3a_1$, $(a_1, b) = 1$, 代入等式有$b^2 = 3a_1^2$,.这又意味着$3|b$, $b = 3b_1$, 这与$a$, $b$互素矛盾.

(b) 因为$n$不是完全平方数, 那么$n$的素因数中至少有一个素因子$q$, 它的次数是奇数次$2r+1$, $n=q^{2r+1}n_1$, $(q, n_1) = 1$, 同样设$\sqrt{n} = a/b$, 这里$(a, b) = 1$, $a^2 = nb^2$, $a^2 = q^{2r+1}n_1b^2$, $q|a$, 可以设$a = q^sa_1$, $(q, a_1) = 1$, 这样有$q^{2s}a_1^2 = q^{2r+1}n_1b^2$, 由于$(a, b) = 1$, 从而$(q, b) = 1$, 这样对于前面等式来说, 左边$q$的指数为偶数, 右边是奇数, 不可能相等.

(c) 假设$\sqrt[3]{2} = a/b$是有理数, 这里$a$和$b$互素. 于是有$a^3 = 2b^3$, 从$(a, b)=1$, 可知$2|a$, 于是设$a = 2a_1$, $(a_1, b) = 1$, 代入等式有$b^3 = 4a_1^3$,.这又意味着$2|b$, $b = 2b_1$, 这与$a$, $b$互素矛盾.

(d) 根据题设, 存在素数$q$, 使得$n = q^rn_1$, $(q, n_1) = 1$, 这里$p$不能整除$r$, 不妨设$r = pt + r_0$, $r_0  > 0$, 设$\sqrt[p]{n} = a / b$, $(a, b) = 1$, 于是$a^p = nb^p$, 把$n$代入有$a^p = q^{pt+r_0}n_1b^p$, 它说明$q | a$, 设$a = q^{s}a_1$, $a^{ps} = q^{pt+r_0}n_1b^p$, 而从$(a, b) = 1$, 可以得出$(q, b) = 1$, 这样一来等式的两边, 左边$q$的指数能被$p$整除, 右边不能被$p$整除, 不可能相等.

这两道题目来自柯朗和约翰的《微积分和数学分析引论》，我用的是英文版的，所以题目是英文的，解答是中文的。