问题2012052701

Let $[x]$ denote the integer part of $x$, that is, $[x]$ is the integer satisfying

$$x – 1 < [x] \le x.$$

Set $c_0 = [x]$, and $c_n = [10^n(x – c_0) – 10^{n-1}c_1 – 10^{n-2}c_2 – \cdots – 10c_{n-1}]$ for $n=1,2,3,\cdots$. Verify that the decimal representation if $x$ is

$$x = c_0 + 0.c_1c_2\cdots$$

and that is construction excludes the possibility of an infinite string of 9’s.

来源

Introduction to Calculus and Analysis

解答

第一个问题实际上是证明有理数序列$a_n = c_0 + 0.c_1c_2\cdots{}c_n = \sum_{i=0}^{n}{10^{-i}c_i}$趋近于$x$.
$$\begin{aligned}c_n = [10^n(x – c_0) &- \sum_{i=1}^{n-1}{10^{n-i}c_i}] \\10^n(x – c_0) – \sum_{i=1}^{n-1}{10^{n-i}c_i} – 1 &< c_n \le 10^n(x – c_0) – \sum_{i=1}^{n-1}{10^{n-i}c_i} \\x – c_0 – \sum_{i=1}^{n-1}{10^{-i}c_i} – 10^{-n} &< 10^{-n}c_n \le x – c_0 – \sum_{i=1}^{n-1}{10^{-i}c_i} \\x – 10^{-n} & < \sum_{i=0}^{n}{10^{-i}c_i} \le x \\x – 10^{-n} & < a_n \le x \\|x – a_n| &< 10^{-n}\end{aligned}$$
至于第二部分, 也就是说不会出现从某个$N>0$之后, 所有的$c_n = 9$, $n \ge N$. 先做个实验, $x = 0.999$, 此时$c_0 = 0$, $c_1 = [10(x – c_0)] = [9.99] = 9$, $c_2 = [10^2(x-c_0) – 10c_1] = [9.9] = 9$, $c_3 = [10^3(x-c_0) – 10^2c_1 – 10c_2] = [9] = 9$. 我们知道出现无限个9结尾的实数实际上等于一个有限小数$x=a_0.a_1a_2 \cdots a_n$, $0 < a_n \le 9$ 我们证明此时必然是$c_k = 0$, $k>n$. 如果$x$是整数, 显然有$c_0 = x$, $c_i = 0$, $i > 0$, 所以后面不讨论$x$为整数的情形. 对于$x \ge 0$的情形, 使用求和公式, 有$c_i=a_i$, $i=0, \cdots, n$, 对于$x < 0$的情形,
$$\begin{aligned}c_0 &= a_0 – 1 \\c_1 &= [10(x-c_0)] = [10(x – a_0 + 1)] = 9-a_1 \\c_2 &= [10^2(x-c_0) – 10c_1] = [10^2(x – a_0 + 1) – 10(9 – a_1)] = 9-a_2 \\&\cdots \\c_n &= [10^n(x-c_0) – \sum_{i=1}^{n-1}{10^{n-i}c_i}] = [10-a_n] = 10 – a_n \\c_{n+1} &= [10^{n+1}(x-c_0) – \sum_{i=1}^{n}{10^{n+1-i}c_i}] = [0] = 0 \\&\cdots \\c_k &= 0;\end{aligned}$$

注：上面的证明不够严格，还需要证明$0 \le c_i \le 9$, $i \ge 1$.

问题2012052702

Define inequality $x > y$ for two real numbers in terms of their decimal representations.

来源

Introduction to Calculus and Analysis

解答

我们使用上一题的小数表达式, 此时对于两个数$x = c_0 + 0.c_1c_2\cdots$和$y = d_0 + 0.d_1d_2\cdots$, 定义$x > y$如下:

如果存在某个$N \ge 0$, 使得$c_i = d_i$, $c_{N} > d_{N}$, 那么定义$x > y$.

从严格的角度看, 需要证明这个定义和书中的定义等价.

问题2012052703

Prove if $p$ and $q$ are integers, $q > 0$, that the expansion of $p/q$ as a decimal either terminates (all the digits following the last place are zeros) or is periodic; that is, from a certain point on the decimal expansion consists of the sequential repetition of a given string of digits. For example, $\frac{1}{4} = 0.25$ is terminating, $\frac{1}{11} = 0.090909\cdots$ is periodic. The length of the repeated string is called the period of the decimal; for $\frac{1}{11}$ the period is $2$. In general, how large may the period of $p/q$ be?

来源

Introduction to Calculus and Analysis

解答

我们可以描述出这个展开过程(我们讨论$p > 0$的情形):
$$\begin{aligned}p &= a_0q + r_0 \\10r_0 &= a_1q + r_1 \\&\cdots \\10r_{n-1} &= a_nq + r_n\end{aligned}$$
任意一个数被$q$相除的余数只能是$0, 1, 2, \cdots, q-1$, 如果在展开过程中, 出现余数为0的情形, 那么它将就此终止, 如果永远不出现余数为0的情形, 由于只能是$q-1$个余数, 在此过程中必然会出现重复, 此时将出现循环. 这里可以看到循环节的最大长度是$q-1$.

这里面的过程似乎都不够严格! 思路是正确的，但是不够细化, 事实上还可以更细致一些, 从有限小数那里, 可以知道分母的素因子只能是$2$和$5$，那么可以把分母中的$2$和$5$提取出来，提取的办法是: 令 $r$为$q$中$2$的指数和$5$的指数中较大的一个，然后把分数转化为$\frac{p}{q} = \frac{\alpha}{10^r\beta}$, 采用上面类似的鸽笼原理，可以证明循环节的最大长度为$\beta – 1$. $\frac{1}{7} = 0.142857142857\cdots$, 可以达到这个上界.