问题2012052801

设$A$, $B$, $C$是三个集合, 证明:

(1) $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$;

(2) $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$.

来源

高等代数简明教程 蓝以中

分析

这道题目比较简单, 主要思想就是: 要证明两个集合$A$和$B$相等$A=B$, 需要分别证明$A \subset B$和$B \subset A$.这道题目的结论可以简称为并和交运算的分配律.

解答

(1) $\forall x \in A \cap (B \cup C)$, $x \in A$并且$x \in B \cup C$, 说明$x \in A$并且$x \in B$或者$x \in C$, 这说明$x \in A \cap B$, 或者$x \in A \cap C$, 即$x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$, 于是$A \cap (B \cup C) \subset (A \cap B) \cup (A \cap C)$.
反之, $\forall x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$, $x \in A \cap B$, 或者$x \in A \cap C$, 如果$x \in A \cap B$, 那么$x \in A$并且$x \in B$, $x \in B \cup C$, 于是$x \in A \cap (B \cup C)$, 对于$x \in A \cap C$有类似结论, 于是$(A \cap B) \cup (A \cap C) \subset A \cap (B \cup C)$.

(2) $\forall x \in A \cup (B \cap C)$, $x \in A$或者$x \in B \cap C$, 如果$x \in A$, 则$x \in A \cup B$, $x \in A \cup C$, 从而$x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)$, 如果$x \in B \cap C$, 那么$x \in B$并且$x \in C$, $x \in A \cup B$, $x \in A \cup C$, 从而$x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)$, 于是必有$A \cup (B \cap C) \subset (A \cup B) \cap (A \cup C)$.
反之, $\forall x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)$, $x \in A \cup B$, 并且$x \in A \cup C$, 如果$x \in A$, 显然有$x \in A \cup (B \cap C)$, 如果$x \notin A$, 必须有$x \in B$并且$x \in C$, 这意味着$x \in B \cap C$, 同样有$x \in A \cup (B \cap C)$, 于是$(A \cup B) \cap (A \cup C) \subset A \cup (B \cap C)$.

问题2012052802

设$A$是全体正有理数所成的集合, $B$是全体正偶数所成的集合. 把$A$中的数按分母大小排成如下表格:

上面表格的排列规律是: 第一个竖列分母都为$1$, 分子依次为$1, 2, 3, \cdots$; 第2个竖列分母都为$2$, 分子依次为$1, 2, 3, \cdots$; 一般说, 第$n$个竖列分母都为$n$, 分子依次为$1, 2, 3, \cdots$, 等等. 然后按图中箭头的次序对$A$中元素排列次序: 令$a_1 = \frac{1}{1} = 1$, $a_2 = \frac{1}{2}$, $a_3 = \frac{2}{1}=2$, $a_4 = \frac{1}{3}$. 在$\frac{1}{3}$处箭头所指的下一个是$\frac{2}{2} = 1$, 前面已出现, 舍弃, 令$a_5 = \frac{3}{1} = 3$, $a_6 = \frac{1}{4}$, $a_7 = \frac{2}{3}$, $a_8=\frac{3}{2}$, $a_9=\frac{4}{1}=4$, $a_{10}=\frac{1}{5}$, 在$\frac{1}{5}$处箭头所指下三个为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, $\frac{3}{3}=1$, $\frac{4}{2}=2$, 前面皆已出现, 皆舍弃; 令$a_{11}=\frac{5}{1}$, …, 这样, 全体正有理数排成一个序列(每次遇到前面已出现的数都舍弃)定义$A$到$B$的映射$f$如下: $f(a_k) = 2k$($k=1,2,3,\cdots$).证明$f$是一个双射.

来源

高等代数简明教程 蓝以中

解答

首先要证明$f$是一个映射, 然后证明$f$既是单射又是满射. 对于$A$中的每一个有理数$x$, 必然出现在题目中的表格中, 根据$a_n$的对应法则, 存在一个而且只有一个$n$, 使得$a_n = x$. 至于它是单射, 在于不同的有理数, 对应于不同的$a_n$, 从而对应不同的偶数$2n$. 至于满射, 对于每一个偶数$2n$, 总能找到$a_n$使得$f(a_n) = 2n$.

问题2012052803

证明全体有理数所成的集合$\mathbb{Q}$和全体正整数所成的集合$\mathbb{N}$之间存在一个一一对应.

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高等代数简明教程 蓝以中

解答

证明使用上面题目的结论, 由于正有理数和负有理数可以建立一一对应, $f(x) = -x$, 大于1的奇数和偶数之间也有一一对应, $f(2n+1) = 2n$, 于是可以在负有理数和大于1的奇数之间可以建立一一对应, 让0对应于1, 正有理数对应于偶数, 这样就在全体有理数和全体正整数之间建立了一一对应.

问题2012052804

设$A$, $B$是两个集合, $f$是$A$到$B$的映射, $g$是$B$到$A$的映射, 举例说明: 单有$gf = id_A$成立时, $f$不一定是可逆映射.

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高等代数简明教程 蓝以中

分析

首先看看满足这个条件能够得到什么性质.

对于$x_1$, $x_2$, $f(x_1) = f(x_2)$, $x_1 = id_A(x_1) = gf(x_1) = gf(x_2) = id_A(x_2) = x_2$, 说明$f$是单射;

对于任意的$x \in A$, 令$y = f(x)$, 则$x = id_A(x) = gf(x) = g(y)$, 说明$g$是满射.

由此我们只要举出一个例子$f$是单射但不是满射即可.

解答

假设$A$, $B$都是正整数集合, $f(x) = 2x$, $g(y)$在$y$为偶数的时候等于$\frac{y}{2}$, 在$y$为奇数的时候等于$(y+1)/2$, 可以证明$f$和$g$满足条件, 但是$f$没有逆映射.

今天的题目大都比较简单!