问题2012052901
Using signs of inequallity alone (not using signs of absolute value) specify the values of $x$ which satisfy the following relations. Discuss all cases.
(a) $|x – a| < |x – b|$.
(b) $|x – a| < x – b$.
(c) $|x^2 – a| < b$.
来源
Introduction to Calculus and Analysis
分析
这只是绝对值概念的一个应用. 如果采取绝对值的几何意义, 不等式可以有比较直观的几何意义. (a) 可以从$a$和$b$相连的中垂线得到结果.
解答
(a) 首先从$|x – b| > 0$, 我们分两种情况$x > b$, $x < b$. $a$和$b$本身也需要区分大小, 从不等式知$a=b$不可能出现.
(i) 当$a > b$时,
(1) $x > b$, 如果$x \ge a$, 不等式转化为
$$x – a < x – b, \quad b < a$$
它总是成立.
如果$x < a$, 不等式转化为
$$a – x < x – b, \quad x > \frac{a + b}{2}$$
结合这两者得到
$$x > \frac{a+b}{2}.$$
(2) 当$x \le b$时, 此时$x < a$, 不等式转化为
$$a – x < b – x, \quad a < b$$
与我们的前面假设矛盾, 不可能.
(ii) 当$a < b$时,
(1) $x > b$, 此时$x > a$, 不等式转化为
$$x – a < x – b, \quad b < a$$
它与我们前面假设矛盾, 不可能.
(2) 当$x < b$时, 当$x > a$时, 不等式转化为
$$x – a < b – x, \quad x < \frac{a + b}{2}$$
结合起来是$a < x < \frac{a+b}{2}$.
如果$x \le a$, $x < b$, 不等式转化为
$$a – x < b – x, \quad a < b,$$
总是成立.
结合这两者得到
$$x < \frac{a+b}{2}.$$
(b) 首先从不等式, 我们有$x – b > 0$, $x > b$.
(i) 当$a > b$时,
(1)$x \ge a$, 不等式转化为
$$x – a < x – b, \quad b < a$$
它总是成立.
(2)$x < a$, 不等式转化为
$$a – x < x – b, \quad x > \frac{a + b}{2}$$
结合这两者得到
$$x > \frac{a+b}{2}.$$
(ii) 当$a \le b$时,
(1) 当$x > a$时, 不等式转化为
$$x – a < x – b, \quad b < a$$
它与我们前面假设矛盾, 不可能.
(2) 如果$x \le a$, 不等式转化为
$$a – x < x – b, \quad x > \frac{a + b}{2},$$
结合起来是
$$\frac{a+b}{2} < x \le a.$$
(c) 从不等式可知$b > 0$, $-b < x^2 – a < b$, $a-b < x^2 < a+b$,
(i)当$a \ge b$时, 不等式转化为
$$\sqrt{a-b} < x < \sqrt{a + b}, \quad -\sqrt{a+b} < x < -\sqrt{a-b}.$$
问题2012052902
An interval may be defined as any connected part of the real continumm. A subset $S$ of the real continuum is said to be connected if with every pair of points $a$, $b$ in $S$, the set $S$ contains the entire closed interval $[a, b]$. Aside from the open and closed intervals already mentioned, there are the ”half-open” intervals $a \le x < b$ and $a < x \le b$ (sometimes denoted by $[a, b)$ and $(a, b]$, respectively) and the unbounded intervals that may be either the whole real line or a ray, that is, a ”half-line” $x \le a$, $x < a$, $x > a$, $x \ge a$ (sometimes denoted by $(-\infty, \infty)$ and $(-\infty, a]$, $(-\infty, a)$, $(a, \infty)$, $[a, \infty)$, respectively)
(a) Prove that the cases of intervals specified above exhaust all possibilities for connected subsets of the number axis.
(b) Determine the intervals in which the following inequalities are satisfied.
(i) $x^2 – 3x + 2 < 0$.
(ii) $(x – a)(x – b)(x – c) > 0$, for $a < b < c$.
(iii) $|1 – x| – x \ge 0$.
(iv) $\frac{x – a}{x + a} \ge 0$.
(v) $|x + \frac{1}{x}| \ge 6$.
(vi) $[x] \le x / 2$.
(vii) $\sin{x} \ge \sqrt{2}/2$.
(c) Prove if $a \le x \le b$, then $|x| \le |a| + |b|$.
来源
Introduction to Calculus and Analysis
解答
(a) $S$是非空连通集, 设$a \in S$, 令$m = \inf{\{ x| [x, a] \subset S \}}$, $M = \sup{\{ y | [a, y] \subset S\}}$, 这里$m$可以为$-\infty$, $M$可以为$\infty$. 根据$m$和$M$的定义, 如果$m$是有限数, 又$m$的定义知任何小于$m$的数都不属于$S$, 同样, 如果$M$是有限数, 任何大于$M$的数都不属于$S$. 根据$m$, $M$的定义, $(m, M) \subset S$, 根据$m=-\infty$, $m$为有限数, $M=\infty$, $M$为有限数, $m \in S$和$M \in S$可以组合出题目中的所有区间.
(b) (i) $(x-2)(x-1) < 0$, $1 < x < 2$. 区间$(1, 2)$
(ii) 在数轴上画出三个点, 从右往左, 从上往下画曲线. $a < x < b$或者$x > c$. 区间$(a,b) \cup (c, \infty)$
(iii) 分$x \ge 1$和$x < 1$讨论, $x \le \frac{1}{2}$. 区间$(-\infty, \frac{1}{2}]$
(iv) $a \ge 0$时, $x \ge a$或$x \le -a$, 当$a < 0$时, $x \ge -a$或者$x \le a$. 区间$(-\infty, -|a|) \cup (|a|, \infty)$.
(v) 分$x > 0$和$x < 0$讨论. $0 < x \le 3 – 2\sqrt{2}$ 或者 $x \ge 3 + 2\sqrt{2}$, 或者$-3-2\sqrt{2} \le x \le -3 + 2\sqrt{2}$. 区间$$(-3-2\sqrt{2}, -3+2\sqrt{2}) \cup (0, 3-2\sqrt{2}) \cup (3+2\sqrt{2}, \infty)$$
(vi) $x – 1 <[x] \le x$, $x – 1 < x/2$, 可以得出$x < 2$. 当$x \le 0$时, $[x] \le x \le \frac{x}{2}$, 当$0 < x < 1$是, $[x] = 0 < \frac{x}{2}$, 当$1 \le x < 2$时, $1 = [x] > \frac{x}{2}$. 故最终结果是$x < 1$. 区间$(-\infty, 1)$.
(vii) 首先考虑区间$[0, 2\pi]$. 此时$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{3\pi}{4}$, 于是最终结果为$2n\pi + \frac{\pi}{4} \le x \le 2n\pi + \frac{3\pi}{4}$, $n \in \mathbb{Z}$. 区间$(2n\pi + \frac{\pi}{4}, 2n\pi + \frac{3\pi}{4})$.(c) 如果$x \ge 0$, $x \le b$可以知道$|x| \le |b|$, 于是$|x| \le |a| + |b|$, 当$x < 0$时, $|x| \le |a|$, 此时$|x| \le |a| + |b|$.
这几道题目应该说难度不大，就是需要考虑各种情形。