问题2012053001

设$K$, $L$是两个数域, 证明$K \cap L$也是一个数域. 试举例说明$K \cup L$不一定是数域.

来源

高等代数简明教程 蓝以中

分析

这道题目只需要数域的定义。

解答

也就是证明$K \cap L$对加减乘除封闭. $\forall x, y \in K \cap L$, $x \in K$, $x \in L$, $y \in K$, $y \in L$, 于是$x \pm y \in K$, $xy \in K$, $x/y \in K$($y \neq 0$),$x \pm y \in L$, $xy \in L$, $x/y \in L$($y \neq 0$), 因此$x \pm y \in K \cap L$, $xy \in K \cap L$, $x/y \in K \cap L$($y \neq 0$), 说明$K \cap L$也是一个数域.
对于$K \cup L$来说, 令$K = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$, $L = \mathbb{Q}(\sqrt{3})$, 那么$\sqrt{2} \in K$, $\sqrt{3} \in L$, 但是$\sqrt{2}\sqrt{3} = \sqrt{6}$既不属于$K$, 也不属于$L$, 因而不属于$K \cup L$.  类似的$\sqrt{2} + \sqrt{3}$. 它说明$K \cup L$对于加减乘除不封闭.

问题2012053002

在数域$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$内定义一个变换$f$如下: $f(a + b\sqrt{2}) = a – b\sqrt{2}$, 证明$f$是一个双射, 并求$f$的逆映射.

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高等代数简明教程 蓝以中

解答

$f$是单射, $a_1 – b_1\sqrt{2} = a_2 – b_2\sqrt{2}$, 可以知道$a_1 = a_2$, $b_1 = b_2$, 从而$a_1 + b_1\sqrt{2} = a_2 + b_2\sqrt{2}$.
$f$是满射, 对于任意的$a + b\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$, $f(a – b\sqrt{2}) = a + b\sqrt{2}$.
令$g(a + b\sqrt{2}) = a – b\sqrt{2}$, 也就是说$g = f$, 那么
$$gf(a + b\sqrt{2}) = g(a-b\sqrt{2}) = a + b\sqrt{2} = id(a + b\sqrt{2}).$$
也就说$f^{-1} = f$.

问题2012053003

求下列和式的值:
(1) $\sum_{i=1}^{n}{i}$, $\sum_{i=1}^{n}{i^2}$, $\sum_{i=1}^{n}{(i+1)(i+2)}$;
(2) $\sum_{i=1}^{n}{(-1)^i}$, $\sum_{i=1}^{n}{(-1)^ii}$.

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高等代数简明教程 蓝以中

解答

(1) 令$S = \sum_{i=1}^{n}{i}$, $T = \sum_{k=1}^{n}{k^2}$, $R = \sum_{i=1}^{n}{(i+1)(i+2)}$,
$$\begin{aligned}2 S &= \sum_{i=1}^{n}{i}  + \sum_{i=1}^{n}{(n + 1 – i)} \\&= \sum_{i=1}^{n}{(n+1)} = n(n+1) \\S &= \frac{n(n+1)}{2}\end{aligned}$$
从恒等式$(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1$出发. 令$k=1, 2, \cdots, n$, 则有
$$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n}{(k+1)^3} &= \sum_{k=1}^{n}{k^3} + 3\sum_{k=1}^{n}{k^2} + 3\sum_{k=1}^{n}{k} + \sum_{k=1}^{n}{1} \\(n+1)^3 &= 1 + 3T + 3S + n \\T &= \frac{1}{3}((n+1)^3 – n – 1 – 3S) \\&= \frac{(n+1)^3 – (n+1) – \frac{3n(n+1)}{2}}{3} \\&= \frac{2(n+1)^3 – 2(n+1) – 3n(n+1)}{6} \\&= \frac{(n+1)(2(n+1)^2 – 2 – 3n)}{6} \\&= \frac{(n+1)(2n^2 + n)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{aligned}$$
把一般项展开,
$$\begin{aligned}R &= \sum_{i=1}^{n}{(i+1)(i+2)} = \sum_{i=1}^{n}{i^2 + 3i + 2} \\&= \sum_{i=1}^{n}{i^2} + \sum_{i=1}^{n}{3i} + \sum_{i=1}^{n}{2} \\&= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{3n(n+1)}{2} + 2n \\&= \frac{n(n+1)(2n+1 + 9)}{6} + 2n \\&= \frac{n(n+1)(n+5)}{3} +  2n\end{aligned}$$

(2) 和的一般项正负相间, 当$n$为偶数的时候$\sum_{i=1}^{n}{(-1)^i} = 0$, $n$为奇数的时候, $\sum_{i=1}^{n}{(-1)^i} = -1$, $n=2k$为偶数的时候,
$$\sum_{i=1}^{n}{(-1)^ii} = \sum_{i=1}^{k}{-(2i-1) + 2i} = \sum_{i=1}^{k}{1} = k = \frac{n}{2}$$
$n=2k + 1$为奇数的时候,
$$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}{(-1)^ii} &= \sum_{i=1}^{k}{-(2i-1) + 2i} + (-2k-1) \\ &= k-2k-1 = -k-1 = -\frac{n+1}{2}\end{aligned}$$

这些等式都是很容易求和的。

问题2012053004

设$K$, $L$是两个数域, 证明$K \cup L$仍为数域的充分必要条件是$K \subset L$或$L \subset K$.

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高等代数简明教程 蓝以中

解答

必要性显然. 下面证明充分性.
假设存在$x \in K$, 但是$x \notin L$, 我们来证明此时必有$L \subset K$, $\forall y \in L$, 需要证明$y \in K$, 由于$x \in K$, $x \in K \cup L$, $y \in L$, 则$y \in K \cup L$, 而$K \cup L$是数域, 于是$y – x \in K \cup L$, $y – x \in K$或者$y – x \in L$, 根据假设$x \notin L$, 因而$y-x \notin L$, 故只能是$y – x \in K$, 这样就有$y = (y – x) + x \in K$. 获证.

今天的题目都比较容易，主要就是定义的应用。