凡与$[0,1]$对等的集$A$,设其势为$c$,区间$[0,1]$上的所定义的一切实函数所成之集,记其势为$f$,试证明:$f=2^c$.

“前提是什么?”

集合$[0,1]$的势为$c$,$[0,1]$上实函数集的势为$f$.

“结论是什么?”

$f=2^c$.

“满足条件是否可能?”

集合$[0,1]$及$[0,1]$上的实函数集均为不可列集,而且实函数集的势大于$[0,1]$的势.因而有可能满足.

“你能想起两者势的比较的方法吗?”

(下面的证法引自那汤松的《实函数论》)

$F$是在$[0,1]$上定义的一切实函数.$U=[0,1]$,首先来证明$F$不与$U$对等.如果$F \sim U$,那么存在一种对应法,可使$F$与$U$成一对一的对应.假设$[0,1]$中的$t$对应于$F$中之元素是$f_t(x)$,($0 \le x \le 1$).记$F(t,x)=f_t(x)$.

那么$F(t,x)$是在$0 \le t \le 1$,$0 \le x \le 1$中所定义的两个变数的函数,函数$\psi(x)=F(x,x)+1 \in F$,所以存在$a \in U$,使得$\psi(x)=f_a(x)$,或者$F(x,x)+1=F(a,x)$,令$x=a$,却有$1=0$,矛盾.$F$与$U$不对等.而$F^*=\{\sin{x}+c\} \subset F$($0 \le c \le 1$),与$U$对等.故$F$的势大于$c$.

“你能利用它吗?”

现在还没有办法.

“回到定义去.”

若$M$的势是$\mu$,而以它的一切子集所组成的集为$T$,$T$的势为$\tau$,则定义$\tau=2^{\mu}$.

“看看定义,现在$\mu=c$,$M=[0,1]$,$T=\{M^*|m^*\subset M\}$,你能找出$T$与$F$之间的对等关系吗?”

一下子还想不出来.

“你能否想出一个类似的问题?”

设$N$是自然数的全体,$N$的势等于$a$,则$c=2^a$.

“你还记得它的证明方法吗?”

(摘自那汤松的《实函数论》)

$T$是$N$的一切子集的集,$L$是一切数列$(a_1,a_2,\cdots)$的集,这里

\[a_k=\begin{cases}0,\\1.\end{cases}\]

于是$T$的势等于$2^a$,$L$的势等于$c$.

对于$T$中任一元素$N^*$,$N^*$为某些自然数所成之集,作$L$的元素$(a_1,a_2,\cdots)$与之对应,对应规则如下:$k \in N^*$时定$a_k=1$,$k \notin N^*$时定$a_k=0$,由此$T \sim L$,故$c=2^a$.

“看来还不能用上述方法.你能想到别的什么吗?或者说定义在集上的函数?”

可以,特征函数就是其中之一.

\[\chi_E(x)=\begin{cases}1 &\quad x\in E\\0 &\quad x \notin E.\end{cases}\]

“你能看出什么?”

$\chi_E \in F$,故$F$的势$\ge 2^c$.

“看来你已经进了一步,你能证明$F$的势$\le 2^c$吗?”

对于$f \in M$,$\{f(x)\}$构成实轴的一个子集.当然,为了不出现$\{g(x)\}=\{f(x)\}$,我们可以用$\{(x,f(x))\}$($x \in [0,1]$),则它构成平面点集的一个子集.若$A=\{(x,f(x))\}$,则$A$的势等于$2^c$,而$F$的势小于$A$的势,由上可得$f=2^c$.

这里有几个问题尚待解决:

(1)整个平面空间的点集的势为$c$;

(2)$f \ge 2^c$,$f \le 2^c$,则有$f=2^c$.(Bernstein定理)

(3)记住上述引自那汤松的《实函数论》的方法;

(4)这道题有一个直观的理解:$A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$,$B=\{b_1,\cdots,b_m\}$,$A$到$B$上的映射有$m^n$个,推广到无穷,$[0,1] \rightarrow R^1$,有${\aleph}^{\aleph}=2^{\aleph_0\aleph}=2^{\aleph}$,这里$\aleph=c$,$\aleph_0=a$分别是实数集的势和自然数集的势.