问题2012053101

设$A$为全体有理数所成的集合. $f$为$A$上的一个变换, 证明: 对任意$a, b \in A$, $$\begin{aligned} f(a + b) &= f(a) + f(b) \\ f(ab) &= f(a)f(b) \end{aligned}$$的充分必要条件是$f = id_A$或$f$为零变换(即对一切$a \in A$, $f(a) = 0$).

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高等代数简明教程 蓝以中

解答

令$a = b= 1$, 有$f(1) = f^2(1)$, 于是或者$f(1) = 0$, 或者$f(1) = 1$.
如果$f(1) = 0$, $f(a) = f(a)f(1) = 0$, 说明$f$为零变换.
如果$f(1) = 1$, 我们将证明$f(a) = a$, 此时我们使用一个比较常见的技巧, 一步一步来扩展我们的数的范围.
(1) 对任意正整数$n$, $f(n) = n$. 这一点可以通过归纳法来证明.
$n = 1$时, $f(1) = 1$, $n = 2$时, $f(2) = f(1) + f(1) = 2f(1) = 2$,
假设对于$n$成立, 对于$n+1$, $f(n+1) = f(n) + f(1) = n+1$.
(2) 对于任意整数$n$成立, $f(n) = n$, 已经证明零和正整数都成立, 只需要考虑负整数$n$, $f(0) = f(-n) + f(n)$. $f(n) = -f(-n) = -(-n) = n$.
(3) 对于全体有理数成立. 令$a = \frac{p}{q}$, $p, q \in \mathbb{Q}$, 则$$\begin{aligned}f(1) &= qf(\frac{1}{q}), \\ f(\frac{1}{q}) &= \frac{1}{q}, \\ f(a) &= f(p)f(\frac{1}{q}) = \frac{p}{q} = a \end{aligned}$$.

问题2012053102

设$f$是$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$到复数域$\mathbb{C}$的一个映射, 且对任意$\alpha, \beta \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$都有$$\begin{aligned}f(\alpha + \beta) &= f(\alpha) + f(\beta) \\ f(\alpha\beta)&=f(\alpha)f(\beta) \end{aligned}$$ 证明$f$只能是下列三种映射之一:
(1) 对一切$\alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$, $f(\alpha) = 0$;
(2) 对一切$a + b \sqrt{2}$($a, b \in \mathbb{Q}$), $f(a + b \sqrt{2}) = a + b \sqrt{2}$;
(3) 对一切$a + b \sqrt{2}$($a, b \in \mathbb{Q}$), $f(a + b \sqrt{2}) = a – b \sqrt{2}$.

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高等代数简明教程 蓝以中

解答

和上一题一样的思路, 如果$f(1) = 0$, 那么$f$就是第一种情形, $\forall \alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$, $f(\alpha) = 0$, 如果$f(1) \neq 0$, 那么必有$f(1) = 1$, $f(\alpha) = \alpha$, 当$\alpha \in \mathbb{Q}$时. 另一方面,
$$f(2) = f^2(\sqrt{2}) = 2$$
如果$f(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$, $f(a + b\sqrt{2}) = f(a) + f(b)f(\sqrt{2}) = a + b\sqrt{2}$, 如果$f(\sqrt{2}) = -\sqrt{2}$, $f(a + b\sqrt{2}) = f(a) + f(b)f(\sqrt{2}) = a – b\sqrt{2}$.

问题2012053103

试找出包含方程$x^2 + 5 = 0$的所有根的最小数域.

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高等代数简明教程 蓝以中

解答

注意到$\sqrt{5}i$满足方程, 而任意数域至少包含有理数域，满足条件的最小数域为$\mathbb{Q}(\sqrt{5}i)$.

今天题目中前面两道题目值得一做，最后一道题目如果只是到这一步，意义不大，但是如果放到更大的环境，数域的扩充，方程的伽罗华理论就有意义了。