问题2012060101

给定变元$x$的$n$次多项式
$$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_n \quad (a_0 \neq 0).$$
如果已知$a_0, a_1, \cdots, a_n$都属数域$K$, $a$是$K$内一个数, 而$\mathbb{C}$上多项式$q(x)$满足
$$f(x) = q(x)(x – a) + f(a).$$
证明$q(x)$的系数也都属于数域$K$.

来源

高等代数简明教程 蓝以中

解答

首先$f(a) \in K$, 通过简单对比多项式次数, 可知$q(x)$的次数为$n-1$, 假设$q(x) = b_0x^{n-1} + b_1x^{n-2} + \cdots + b_{n-1}$, 代入等式有
$$\begin{aligned}\sum_{i=0}^{n}{a_ix^{n-i}} &= (\sum_{i=0}^{n-1}{b_ix^{n-1-i}})(x – a) + f(a) \\&= \sum_{i=0}^{n-1}{b_ix^{n-i}} – \sum_{i=0}^{n-1}{ab_ix^{n-1-i}} + f(a) \\&= b_0x^n + \sum_{i=1}^{n-1}{(b_i – ab_{i-1})x^{n-i}} – ab_{n-1} + f(a)\end{aligned}$$
由此有$a_0 = b_0$, $a_i = b_i – ab_{i-1}$, $i=1, \cdots, n-1$, $a_n = f(a) – ab_{n-1}$. 注意到这里只涉及有理运算, 而数域$K$对有理运算封闭, 于是$b_i \in K$.

问题2012060102

给定$x$的$n$次多项式
$$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_n \quad (a_0 \neq 0).$$
如果已知$a_0, a_1, \cdots, a_n$都属数域$K$, $a$是$K$内一个数, 证明存在$K$内的数$b_0$, $b_1$, $\cdots$, $b_n$, 使
$$f(x) = b_0 + b_1(x-a) + \cdots + b_n(x-a)^n.$$

来源

高等代数简明教程 蓝以中

解答

对$n$使用归纳法. $n=1$时, $f(x) = a_0x +  a_1 = a_0(x – a) + aa_0 + a_1$, 令$b_0 = a_0$, $b_1 = aa_0 + a_1$即可.
假设结论对于$n$成立, 那么对于$n+1$来说, 使用上一题的结论, 存在$K$中多项式$q(x)$, 满足
$$f(x) = q(x)(x – a) + f(a).$$
根据归纳法, 存在$c_0, \cdots, c_{n-1} \in K$, 使得
$$q(x) = c_0 + c_1(x-a) + \cdots + c_{n-1}(x-a)^{n-1},$$
代入上述等式
$$\begin{aligned}f(x) &= c_0(x-1) + c_1(x-1)^2 + \cdots + c_{n-1}(x-a)^n + f(a) \\&= f(a) +  c_0(x-1) + c_1(x-1)^2 + \cdots + c_{n-1}(x-a)^n\end{aligned}$$
令$b_0 = f(a)$, $b_i = c_{i-1}$, $i=1, \cdots, n$.

这些题目说明，有些问题我们可以限制在数域$K$内讨论, 有的时候这个限制给我们带来好处。例如如果能够限制在有理数域，就可能转化为整系数多项式，如果限制在实数域，我们对根本身可能有更多的假设，当然，有些时候，我们又会希望扩充数域，事实上很多时候，在复数域上讨论问题反而更简单，例如在多项式的根的问题上，在复数域上，可以非常明确的得出$n$个根, 而它的分解式都是线性的。