问题2012060201
Derive the inequalities
(a) $x + \frac{1}{x} \ge 2$, for $x > 0$,
(b) $x + \frac{1}{x} \le -2$, for $x < 0$,
(c) $|x + \frac{1}{x}| \ge 2$, for $x \neq 0$,
来源
Introduction to Calculus and Analysis
分析
使用平均值不等式可以得到(a), (b)可以通过(a)得到, (c)是(a)和(b)的合并. 或者直接配方， $$(\sqrt{x} – \frac{1}{\sqrt{x}})^2 \ge 0$$
解答
(a) $x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$;
(b) 令$y = -x$, 则$y > 0$, $y + \frac{1}{y} \ge 2$, $-x + \frac{1}{-x} \ge 2$, $x + \frac{1}{x} \le 2$.
(c) 有了(a)和(b), 它变得显然.
问题2012060202
The harmonic mean $\xi$ of two positive numbers $a$, $b$ is defined by
$$\frac{1}{\xi} = \frac{1}{2}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}).$$
Prove that the harmonic mean does not exceed the geometric mean; that is, that $\xi \le \sqrt{ab}$. When are the two means equal?
来源
Introduction to Calculus and Analysis
解答
同样使用平均值不等式即可:
$$\begin{aligned}\frac{1}{\xi} &= \frac{1}{2}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge \sqrt{\frac{1}{a} \frac{1}{b}} \\& = \frac{1}{\sqrt{ab}} \\\xi &\le \sqrt{ab}\end{aligned}$$
前面平均值不等式成立等号的充要条件是$\frac{1}{a} = \frac{1}{b}$, 即$a = b$.
问题2012060203
Derive the following inequalities:
(a) $x^2 + xy + y^2 \ge 0$,
(b) $x^{2n} + x^{2n-1}y + x^{2n-2}y^2 + \cdots + y^{2n} \ge 0$,
(c) $x^4 – 3x^3 + 4x^2 – 3x + 1 \ge 0$.
When does equality hold?
来源
Introduction to Calculus and Analysis
解答
对于(a)有一个方法是配平方的方法, 但是这个方法无法用于(b), 我们可以用另一个方法.
(a)方法一:
$$x^2 + xy + y^2 = (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4} \ge 0.$$
方法二:
$$\begin{aligned}x^3 – y^3 &= (x – y)(x^2 + xy + y^2) \\x^2 + xy + y^2 &= \frac{x^3 – y^3}{x – y}\end{aligned}$$
$x = y$时显然成立不等式, $x \neq y$时, 如果$x > y$, 那么$x^3 > y^3$, $x < y$时, $x^3 < y^3$, 即$f(x) = x^3$在$\mathbb{R}$上严格单调, 这就可以得到$x^2 + xy + y^2 \ge 0$. 等号在$x=y=0$时成立.
(b) 当$x = y$时, 不等式显然成立, 因为左边化为$(2n+1)x^{2n} \ge 0$. 当$x \neq y$时, 我们继续使用类似于上面题目的方法, 此时$f(x) = x^{2n+1}$是严格单调的.
$$x^{2n} + x^{2n-1}y + x^{2n-2}y^2 + \cdots + y^{2n} = \frac{x^{2n+1} – y^{2n+1}}{x – y} \ge 0.$$
等号在$x=y=0$时成立.
(c) 把左边的多项式进行分解.
$$\begin{aligned}x^4 – 3x^3 + 4x^2 – 3x + 1 &= (x^4 – 3x^3 + 2x^2) + (2x^2 – 3x + 1) \\&= (x-1)(x^3 – 2x^2) + (x-1)(2x – 1) \\&= (x-1)(x^3 – 2x^2 + 2x – 1) \\&= (x-1)(x^2(x-1) – (x-1)^2) \\&= (x-1)^2(x^2 – (x – 1)) \\&= (x-1)^2(x^2 – x + 1)\end{aligned}$$
无论是配方, 还是使用判别式$\Delta = 1 – 4 = -3 < 0$, 可知$x^2 – x + 1 > 0$, 由此可知原不等式成立. 等号在$x = 1$时成立.
问题2012060204
(a) $|x-a_1| + |x-a_2| + |x-a_3| \ge a_3 – a_1$, for $a_1 < a_2 < a_3$. For what value of $x$ does equality hold?
(b) Find the largest value of $y$ for which for all $x$
$$|x-a_1| + |x-a_2| + \cdots + |x-a_n| \ge y,$$
where $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$. Under what conditions does equality hold?
来源
Introduction to Calculus and Analysis
解答
(a)
$$\begin{aligned}|x-a_1| + |x-a_2| + |x-a_3| &\ge |x-a_1 – (x-a_3)| + |x-a_2| \\&= (a_3-a_1) + |x-a_2| \\&\ge a_3 – a_1,\end{aligned}$$
一步一步向前, 后面一个等式要成立, 当且仅当$x = a_2$, 此时第一个等式也成立, 于是不等式当且仅当$x=a_2$成立.(b) 我们首先看看$n=2$的时候是什么情形. 此时
$$|x-a_1| + |x-a_2| \ge a_2 – a_1,$$
当$a_1 \le x \le a_2$时成立等式.
我们如果两两配对, 我们就能给出一个最佳估计. 于是我们需要对$n$分奇偶讨论.
(1) $n = 2m$为偶数, 此时可以两两匹配.
$$\begin{aligned}&|x-a_1| + |x-a_2| + \cdots + |x-a_m| \\ &+|a-a_{m+1}| + |x-a_{m+2} + \cdots + |x – a_{2m}| \\& \ge (a_{m+1} – a_1) + (a_{m+2} – a_2) + \cdots + (a_{2m} – a_m) \\&= a_{2m} + a_{2m-1} + \cdots + a_{m+1} – a_{m} – a_{m-1} – \cdots – a_1\end{aligned}$$
当$a_m \le x \le a_{m+1}$时, 等式成立.
(2) $n = 2m+1$为偶数,
$$\begin{aligned}&|x-a_1| + |x-a_2| + \cdots + |x-a_m| + |x – a_{m+1}| \\ &+|a-a_{m+2}| + |x-a_{m+3} + \cdots + |x – a_{2m+1}| \\& \ge (a_{m+2} – a_1) + (a_{m+3} – a_2) + \cdots + (a_{2m+1} – a_m) + |x – a_{m+1}| \\&= a_{2m+1} + a_{2m} + \cdots + a_{m+2} – a_{m} – a_{m-1} – \cdots – a_1\end{aligned}$$
当$x = a_{m+1}$时, 等式成立.
这里跳过了两道书中的题目，都和Cauchy不等式有关，一个是不等式的几何意义，一个是等号成立的条件。Cauchy不等式几何意义是和余弦定理相关($OA \cdot OB = |OA||OB|\cos{\theta}$)，不等式成立等号的充要条件是两组数成比例.