数学分析的级数理论是一个重点,这里简要列一下.
一.数项级数
1.定义:
$\{a_n\}$,$n=1,2,\cdots$,$\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots$称为级数.$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$称为部分和.一个自然的想法是$S_n$收敛,则称$\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}$收敛,即和值存在.$S-n \rightarrow s$,记$s=\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}$.由此得到$a_n=S_n-S_{n-1}$,于是$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(S_n-S_{n-a})}=0$.
这一个结论又提供了求$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n}$的一个方法,即去判断$\sum{a_n}$是否收敛,同时,这一性质也提供了判断级数发散的方法,若$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} \neq 0$,则必发散.
2.几个性质:
(1)从$\{S_n\}$的柯西准则可以得出$\sum{a_n}$的柯西准则:$\sum{a_n}$收敛$\Leftrightarrow$$\forall \epsilon>0$,$\exists N$,$m>N$,及任意$p$为自然数,有
\[|a_{m+1}+\cdots+a_{m+p}|<\epsilon.\]
发过来,发散的充要条件是:$\exists \epsilon_0$,$\forall N$,$\exists m_0>N$,及$p_0$,
\[|a_{m_0+1}+\cdots+a_{m_0+p_0}| \ge \epsilon_0.\]
(2)线性关系:$\sum{u_n}$,$\sum_{v_n}$收敛,可以推出$\sum{(au_n+bv_n)}=a\sum{u_n}+b\sum{v_n}$收敛,且有前面的这个等式.
(3)有限对无限的影响.去掉,增加或改变级数的有限个项不改变级数的敛散性.
(4)在收敛级数的项中任意加括号,及不改变级数的收敛性,也不改变它的和.(或者说有结合律).注意这里收敛是前提条件.对于不收敛的级数,添加括号会引发问题,一般情形结合律不成立.
遵从简单到复杂的原则,先考虑正项级数,从$\{S_n\}$入手,给出几个判定定理.
(1)$\sum{u_n}$为正项级数,收敛等价于$\{S_n\}$有界.
(2)$\sum{u_n}$,$\sum{v_n}$是正项级数,$\exists N$,$n>N$时$u_n \le v_n$,则$\sum{v_n}$收敛可以得到$\sum{u_n}$收敛,反之,$\sum{u_n}$发散可以得到$\sum{v_n}$发散.
这是一个比较重要的法则,常见的比较用的级数有:几何级数$\sum{aq^n}$.有下面的定理:
(1)两个正项级数$\sum{u_n}$和$\sum{v_n}$,满足
\[\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{u_n}{v_n}}=l,\]
(i)$0<l<\infty$,$\sum{u_n}$和$\sum{v_n}$同时收敛或同时发散.
(ii)$l=0$,$\sum{v_n}$收敛$\Rightarrow$$\sum{u_n}$收敛.
(iii)$l=+\infty$,$\sum{v_n}$发散$\Rightarrow$$\sum{u_n}$发散.
(2)达朗贝尔判别法:正项级数$\sum{u_n}$,$\exists N_0$,及$q$,$0<q<1$,
(i)$n>N_0$,有$\frac{u_{n+1}}{u_n} \le q$,$\sum{u_n}$收敛.
\[\frac{u_2}{u_1}\frac{u_3}{u_2}\cdots\frac{u_n}{u_{n-1}} \le q^{n-1}\]
(ii)对一切$n>N_0$,$\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1$,$\sum{u_n}$发散.
设$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{u_{n+1}}{u_n}} = q$.
(i)$q<1$,$\sum{u_n}$收敛;
(ii)$q>1$或$q=+\infty$时,$\sum{u_n}$发散,$q=1$不能判断.
用上下极限有时更为方便,对于正项级数$\sum{u_n}$:
(i)$\varlimsup{\frac{u_{n+1}}{u_n}}=q<1$,$\sum{u_n}$收敛;
(ii)$\varliminf{\frac{u_{n+1}}{u_n}}=q>1$,$\sum{u_n}$发散;
(3)柯西判别法:正项级数$\sum{u_n}$,$\exists N_0$,及$l>0$.
(i)对一切$n>N_0$,$\sqrt[n]{u_n} \le l<1$,$\sum{u_n}$收敛;
(ii)对一切$n>N_0$,$\sqrt[n]{u_n} \ge 1$,$\sum{u_n}$发散.
用极限表示:$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{u_n}}=l$,(i)$l<1$,$\sum{u_n}$收敛,(ii)$l>1$,$\sum{u_n}$发散,$l=1$失效.
用上极限:$\varlimsup{\sqrt[n]{u_n}}=l$,$l<1$,$\sum{u_n}$收敛;$l>1$,$\sum{u_n}$发散.
(4)积分判别法:$f$为$[1,+\infty)$上非负递减函数.$\sum{f(n)}$与$\int_{1}^{+\infty}{f(x)dx}$同敛散.为此必须熟悉广义积分,而实际上,广义积分与无穷级数有许多判别方法是类似的.差别仅仅是一为连续统上考虑,一为自然数上考虑.
(5)拉贝判别法:(以$p$级数$\sum{n^{-p}}$为标准)
$\sum{u_n}$为正项级数,$\exists N_0$,及$r$.
(i)对一切$n>N_0$,$n(1 – \frac{u_{n+1}}{u_n}) \ge r > 1$,$\sum{u_n}$收敛;
(ii)对一切$n>N_0$,$n(1 – \frac{u_{n+1}}{u_n}) \le 1$,$\sum{u_n}$发散;
极限形式:$\lim{n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n})}=r$,$r>1$,$\sum{u_n}$收敛,$r<1$,$\sum{u_n}$发散,$r=1$失效.
$1 – \frac{u_{n+1}}{u_n} \ge \frac{r}{n}$,$\frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1 – \frac{r}{n}<p$
$\frac{u_{n+1}}{u_n} \le \frac{n-r}{n}$,$(1-\frac{r}{n})\cdots(1-\frac{r}{n})<(\frac{n-r}{n})^n$
$1-\frac{u_{n+1}}{u_n} \le \frac{1}{n}$,$\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge \frac{n-1}{n}$,$u_n > \frac{1}{n}$.
对正项级数有了一定的了解,就可以考察一般级数.
交错级数,$\sum{(-1)^{n+1}u_n}$,有莱布尼兹判别法,(i)$\{u_n\}$单调递减,(ii)$\lim{u_n}=0$,则$\sum{(-1)^{n+1}u_n}$收敛.
绝对收敛与条件收敛,$\sum{u_n}$,$\{u_n\}$是一般数列.$\sum{|u_n|}$收敛$\Rightarrow$$\sum{u_n}$收敛,此时$\sum{u_n}$绝对收敛;$\sum{u_n}$收敛,$\sum{|u_n|}$发散,此时$\sum{u_n}$条件收敛.
绝对收敛级数的重排.
$\sum{u_n}$绝对收敛,重排后得到级数$\sum{v_n}$,则$\sum{v_n}$也绝对收敛,且和数不变.$\sigma_n \le s_m$,$\sigma \le s$,重排是相互的,$s \le \sigma$.
由条件收敛级数重排后得到的新级数,即使收敛也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何事先指定的数.
$\sum{v_n}$,$v_n$分为两部分:$u_1,u_2,\cdots$,$u_k>0$,$w_1,w_2,\cdots$,$w_k<0$.
$A_1=u_1+u_2+\cdots+u_{K_1} > s$,$B_1=A_1+w_1+\cdots+w_{I_1}<s$,
$A_2=B_1+u_{K_1+1}+\cdots+u_{K_2} > s$,$B_2=A_2+w_{I_1+1}+\cdots+w_{I_2}<s$,
如此继续,形成区间套:$[B_1,A_1]$,$[B_2,A_2]$,$\cdots$,$[B_n,A_n]$,…
级数的乘积:$\sum{u_n}$,$\sum{v_n}$,$(\sum{u_n})(\sum{v_n})=\sum{w_n}$,$w_n=\sum_{k=1}^{n}{u_kv_{n-k}}$,则$\sum{u_n}$,$\sum{v_n}$绝对收敛,$A=\sum{u_n}$,$B=\sum{v_n}$,此时$\sum{w_n}$绝对收敛,且$\sum{w_n}=AB$.
$\sum{a_nb_n}$的收敛性判别:
(1)阿贝尔判别法:$\{a_n\}$单调有界,$\sum{b_n}$收敛,则$\sum{a_nb_n}$收敛.
(2)狄利克雷判别法:$\{a_n\}$单调递减,$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n}=0$,$\sum{b_n}$的部分和数列有界,则$\sum{a_nb_n}$收敛.
阿贝尔变换另讲,至此先告一段落.