群是近世代数中的一个极为重要的概念,这里大致概括一下群的基本概念.

群是这样一种代数结构,在非空集$S$上定义一种代数运算,我们通常称之为乘法.这种代数运算在$S$中封闭,并且满足结合律,此时我们称$S$为半群,如果在这种代数运算下,还存在单位元及逆元,那么$S$就称为群.群有许多种等价的定义,但对于封闭性及满足结合律却是相同的.”单位元及逆元的存在性”可以用”左(右)单位元及左(右)逆元的存在性”来代替.这是因为在上述条件下,左右单位元及左右逆元都存在且相等.

\[\begin{aligned}ea=a,a^{-}a=e &\Rightarrow a^{-}aa^{-}=ea^{-}=a^{-} \\&\Rightarrow aa^{-}=e \\&\Rightarrow aa^{-}a=ae=ea=a\end{aligned}\]

注意到左单位元及左逆元的存在性又可用$ax=b$,$ya=b$的解的存在唯一性来代替.($ea=a$,$\forall c=ay$,$ec=eay=ay=c$,$cx=e$$\Rightarrow$$x=c^-$).对于有限群,定义的条件又可以减弱.只需代数运算满足消去律即可.这是因为

\begin{gather*}S = \{a_1,a_2,\cdots,a_n\} \\S’ = \{ba_1,ba_2,\cdots,ba_n\}\end{gather*}

由于代数运算的封闭性,$S’ \subset S$,又由于消去律,$S=S’$,$\exists ba_i=a_j$,即$bx=a$有解,同样,$xb=a$也有解,由此可得$S$成群.群中元素$e$,$a^{-}$是唯一的.

群的概念清楚了,便可了解子群的概念,若$H \subset S$,而$H$对于$S$的代数运算形成群,则称$H$为$S$的子群.判断子群的条件要简单的多,只需(1)封闭性;(2)若$x \in H$,则$a^- \in H$.在某些特殊情况下,条件还可以减弱,比如在有限的情况下,只须满足封闭这一条就可以了.或者$a,b \in H$,$ab^- \in H$.

正规子群是相当重要的一类子群.为引入这个概念,先要熟悉集合$HK$的乘积.注意,这里的乘积不同于笛卡尔积.$HK=\{hk\}$,特殊的,$H=\{a\}$,或$K=\{a\}$时,便出现左陪集,右陪集的概念.由此便可得到正规子群的定义.在这里,左右陪集的性质是较重要的.$HK$的群的性质也比较重要.下面简单说一下.

(1)$H$,$K$是子群时,$HK$不一定是子群,$HK$为子群$\Leftrightarrow$$HK=KH$,这里$HK=KH$,指$\exists h_1k_1=k_2h_2$,$h_1,h_2,k_1,k_2$可能相等.

(2)对于左右陪集,当$a \in H$时,$aH=H$,$Ha=H$,$H^2=HH=H$.

对于两个左右陪集,或者重合,或者不相交.

$aH$,$bH$,设若$\exists bh_1 \in aH$,即$bh_1=ah’$,$b=ah’h_1^{-1}$,而$h’h_1^{-1} \in h$,故$b=ah_0$,即$b \in aH$.

对于任意的$bh \in bH$,由$bh=ahh_0=ah” \in aH$,$bh \in aH$,故$bH \subset aH$,另一方面$ah’ \in bH$,可以得出$aH \subset bH$,因此$aH=bH$.这里还有一个额外的收获,$a$,$b$在同一个左陪集的充要条件为$a^{-1}b \in H$.

前面证明了不同的左陪集给出了群$S$的一个不相交的划分.

$aH$成群,可知$a \in H$,$aH=H$.

群$G$中子群的相异的左(右)陪集的个数,称为$H$在$G$中的指标.($G:H$)

有限群的子群的指标是该群的元素个数的因子.(Lagrange定理) $(G:H)m=n$.

正规子群($aH=Ha$):

(1)群$G$的中心,群$G$中所有与$G$中任意元能交换的元形成一个正规子群.

(2)在同一个群里,两个正规子群的乘积仍是正规子群,一个子群与一个正规子群的乘积是一个子群.

商群:由左右陪集来划分.

同构与同态:是两个群之间的关系,在变化下保持了代数运算性质.

内容太过庞大,无法叙述了.