至今为止,已经学了好几种有关收敛的概念,有必要做个小结.

我们最早接触的是在数学分析中数列的收敛,函数列的收敛及一致收敛,函数项级数的一致收敛,分别叙述如下:

(1)对于数列$\{x_n\}$,若对于常数$x$,$\forall \epsilon > 0$,$\exists N$,当$n>N$时,$|x_n-x|<\epsilon$,则说$x_n$收敛于$x$.

(2)对于函数列$\{f_n(x)\}$,如果对于每个$x$,$f_n(x)$收敛于$f(x)$,则说$f_n(x)$收敛于$f(x)$,注意,这时是对单个的$x$来说的.

(3)对于函数列$\{f_n(x)\}$,如果$\forall \epsilon>0$,$\exists N$,当$n>N$时,对所有的$x$有

\[|f_n(x)-f(x)|<\epsilon,\]

则说$f_n(x)$一致收敛于$f(x)$.这时是对$x$的整体来说的.

接下来是在实变函数和泛函分析中出现的,几乎处处收敛,近一致收敛,依测度收敛,强收敛,弱收敛,依范数收敛等,下面先给出定义,然后说明它们之间的联系.

对于函数列$\{f_n(x)\}$,$x\in E$,其中$E$可测,$f_n(x)$是有界可测函数,有时也考虑有限可测函数.

(4)如果除了零测度集$E_0$,$f_n(x)$在$E-E_0$上收敛于$f(x)$,则说$f_n(x)$几乎处处收敛于$f(x)$.

(5)$\forall \delta>0$,存在可测集$E_{\delta}$使$f_n(x)$在$E_{\delta}$上一致收敛到$f(x)$,且$m(E-E_{\delta})<\delta$.则说$f_n(x)$近一致收敛到$f(x)$.

由叶果洛夫定理可知几乎处处收敛与近一致收敛等价($m(E)<+\infty$).同时说明几乎处处收敛与一致收敛间的关系.

(6)如果$\forall \epsilon>0$,

\[\lim_{n \rightarrow \infty}{m(E(|f_n(x)-f(x)| \ge \epsilon))} = 0,\]

则说$f_n(x)$依测度收敛于$f(x)$.

(7)点列的收敛:$\{x_n\}$为距离空间$X$中的一个点列.$n \rightarrow \infty$时,$\rho(x_n,x_0) \rightarrow 0$,则称点列$\{x_n\}$收敛于$x_0$.

给出不同的距离$\rho$,可对应于不同的收敛概念.我们可以找到这样的$\rho$,使(7)把(1),(3)均包含了进去.

(8)$E$是$B^*$空间,对于$\{x_n\} \subset E$,$x \in E$,$x_n$依范数收敛于$x$或$x_n$强收敛于$x$是指

\[\lim_{n \rightarrow \infty}{\Vert{x_n-x}\Vert} = 0.\]

有界线性算子空间$B(E,E_1) \supset \{T_n\}$,按范数收敛于$T$,即

\[\lim_{n \rightarrow ]infty}{\Vert{T_n-T}\Vert} = 0,\]

有时称为一致收敛(依算子范数).

(9)设$T$,$T_n \in B(E,E_1)$,若对每个$x \in E$,

\[\lim_{n}{\Vert{T_n(x)-Tx}\Vert} = 0,\]

称$\{T_n\}$强收敛于$T$.

关系:任何一个算子序列若依算子范数收敛于某一算子,则必定强收敛于同一算子,反之不然.

(10)设$E$为$B^*$空间,$E$的共轭空间$E^*$中的序列$\{f_n\}$,称为$*$弱收敛于$f_0 \in E^*$,是指对任意的$x \in E$,有$f_n(x) \rightarrow f_0(x)$,$n \rightarrow \infty$.

(11)设$E$为$B^*$空间,$\{x_n\} \subset E$,$x_0 \in E$,对每个$f$,$\lim{f(x_n)} = f(x_0)$,则称$x_n$弱收敛于$x_0$.

有界线性泛函序列强收敛(依$E^*$中的范数收敛)蕴含$*$弱收敛,反之则不然,点列的强收敛蕴含弱收敛,反之则不然.几乎处处收敛$\Rightarrow$依测度收敛,反之不然.