今天的习题都是基本的，属于基础概念。

问题2012111201

证明:若$\{x_n\}$单调,则$\{|x_n|\}$至少从某项开始后单调,又问,反之如何?

来源

数学分析习题课讲义,作者:谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边.

解答

首先反过来肯定不一定成立,$x_n = \frac{(-1)^n}{n}$,$|x_n|$单调,$x_n$上下波动.
设$x_n$单调递增.如果对任意$x_n$,有$x_n \le 0$,那么$|x_n|=-x_n$,单调递减.如果存在某个$N$,$x_N>0$,那么从$N$开始,$|x_n|=x_n$单调递增.
如果$x_n$单调递减,可以做类似的讨论.

问题2012111202

设$\{a_n\}$单调增加,$\{b_n\}$单调递减,且有$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(a_n – b_n)} = 0$,证明数列$\{a_n\}$与$\{b_n\}$都收敛,且极限相等.

来源

数学分析习题课讲义,作者:谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边.

解答

如果$a_n$和$b_n$都收敛,由$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(a_n – b_n)} = 0$可知两者的极限相等.故下面只需要证明两者收敛.显然只要证明$a_n$有上界,$b_n$有下界即可.我们证明$a_1$是$b_n$的下界,$b_1$是$a_n$的上界.
反证,假设存在$N$,使得$b_N < a_1$,则
\[a_n \ge a_1 > b_N > b_{N+1} > \cdots > b_n > \cdots,\]
于是有$a_n – b_n \ge a_1 – b_N > 0$,也就是说
\[\lim_{n \rightarrow \infty}{(a_n – b_n)} \ge a_1 – b_N > 0,\]
矛盾,类似的可以证明$b_1$是$a_n$的上界.至此获证.

问题2012111203

按照极限的定义证明:单调增加有上界的数列的极限不小于数列的任何一项,单调减少有下界的数列的极限不大于数列的任何一项.

来源

数学分析习题课讲义,作者:谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边.

解答

后者可以通过前者来证明,故我们只证明前者.假设$x_n$单调增加.设$\lim{x_n} = x$,假设存在某一项$m$,使得$x_m > x$,令$\epsilon = (x_m – x)/2$,则$\exists N$.当$n > N$时,
\[|x_n-x| < \epsilon \Rightarrow x – \frac{x_m-x}{2} < x_n < x+ \frac{x_m-x}{2}\]
于是有$x_n < \frac{x_m + x}{2} < x_m$,如果取$n = \max{\{N,m\}}+1$,那么就得到矛盾了.

问题2012111204

(1)设$x_n = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdots \frac{n+1}{2n+1}$,$n \in N_+$,求数列$\{x_n\}$的极限.

(2)设$a_n = \frac{10}{1} \cdot \frac{11}{3} \cdots \frac{n+9}{2n-1}$,$n \in N_+$,求数列$\{a_n\}$的极限.

来源

数学分析习题课讲义,作者:谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边.

解答

(1)$x_n = x_{n-1}\cdot \frac{n+1}{2n+1}<x_{n-1}$,单调递减,并且$x_n>0$,存在极限,假设极限为$x$,那么应该有等式$x = \frac{1}{2}x$,于是$x=0$.

(2)$a_{n} = a_{n-1} \cdot \frac{n+9}{2n-1}$,在$n>10$的时候,数列单调递减,并且大于0,存在极限,同样可以求得极限为0.

问题2012111205

设$0<x_0<\pi/2$,$x_n = \sin{x_{n-1}}$,$n \in N_+$,证明:$\{x_n\}$收敛,并求其极限.

来源

数学分析习题课讲义,作者:谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边.

解答

这里使用不等式$\sin{x} \le x$,$x\in [0, \pi/2]$.
我们证明:$0 \le x_n \le \pi/2$,且$x_{n+1}\le x_n$.首先使用归纳法证明前者:
(1)$x_0$满足条件,$0 < x_1 = \sin{x_0} \le 1 < \pi/2$,也满足条件;
(2)$0 < x_{n+1} = \sin{x_n} \le 1 < \pi/2$,可知结论成立.
其次使用不等式$\sin{x} \le x$,可知$x_{n+1} \le x_n$.
于是数列单调有界,存在极限,假设极限为$x$,则应该有$x = \sin{x}$,这个方程在$[0,\pi/2]$上只有唯一解0.