问题2013010201

设$a_n=[\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}]^2$,$n \in N+$,证明:$\{a_n\}$收敛于0.

来源

数学分析习题课讲义,作者:谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边.

解答

这个问题的收敛性容易:
\[a_{n+1}=[\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}]^2=a_n\cdot[\frac{2n+1}{2n+2}]^2<a_n,\]
数列单调递减,有下界0.
但是常规方法无法求出极限,设$a_n \rightarrow a$,则有
\[a=a,\]
恒成立,需要其他方法了,估计这个$a_n$.
\[\begin{aligned}a_n &= [\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)}]^2 = \frac{1^2 \cdot 3^2 \cdots 5^2 \cdots (2n-1)^2}{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \cdots (2n)^2} \\&=\frac{1 \cdot 3}{2^2} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4^2} \cdot \frac{5 \cdot 7}{6^2} \cdots \frac{(2n-3)(2n-1)}{(2n-2)^2} \cdot \frac{2n-1}{(2n)^2} \\&<\frac{2n-1}{4n^2} \rightarrow 0,\end{aligned}\]
$a_n > 0$,使用夹逼准则可知$a_n \rightarrow 0$.

问题2013010202

设$a_n=[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}]^2\cdot\frac{1}{2n+1}$,$n \in N_+$,证明:$\{a_n\}$收敛.

来源

数学分析习题课讲义,作者:谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边.

解答

首先证明$a_n$单调.
\[\begin{aligned}a_{n+1}&=[\frac{(2n+2)!!}{(2n+1)!!}]^2\cdot\frac{1}{2n+3}=[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}]^2\cdot\frac{(2n+2)^2}{(2n+1)^2}\cdot\frac{1}{2n+3}\\&=a_n\cdot\frac{(2n+2)^2}{(2n+1)(2n+3)}>a_n,\end{aligned}\]
这是因为
\[(2n+2)^2>(2n+1)(2n+3),\]
接下来需要证明$a_n$有上界.
\[a_n=\frac{2^2\cdot4^2\cdot(2n)^2}{1^2\cdot3^2\cdots(2n-1)^2}\cdot\frac{1}{2n+1}=2\cdot\frac{2\cdot4}{3^2}\frac{4\cdot6}{5^2}\cdots\frac{(2n-2)(2n)}{(2n-1)^2}\frac{2n}{2n+1}\]
这个乘积中后面的每一项都小于1,于是有$0<a_n<2$,数列存在极限.

问题2013010203

下列数列中,哪些是单调的?(1)$\{\frac{1}{1+n^2}\}$;(2)$\{\sin{n}\}$;(3)$\{\sqrt[n]{n!}\}$;

来源

数学分析习题课讲义,作者:谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边.

解答

前面两个比较容易看出,(1)单调递减;(2)不是单调的;对于(3),
\[\begin{aligned}\frac{[(n+1)!]^{1/n+1}}{(n!)^{1/n}}&=[\frac{[(n+1)!]^n}{(n!)^{n+1}}]^{\frac{1}{n(n+1)}}=[\frac{(n!)^n\cdot(n+1)^n}{(n!)^{n+1}}]^{\frac{1}{n(n+1)}} \\&=[\frac{(n+1)^n}{n!}]^{\frac{1}{n(n+1)}}>1\end{aligned}\]
单调递增.

问题2013010204

证明:单调数列$\{a_n\}$收敛的充分必要条件是它有一个收敛子列.

来源

数学分析习题课讲义,作者:谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边.

解答

收敛数列的任一个子列收敛,且收敛于同一个值.
设$\{x_n\}$是单调数列,子列$\{x_{n_k}\}$收敛,不妨设$\{x_n\}$单调增加.由于$x_{n_k}$收敛,设$x_{n_k} \rightarrow x$,则对于1,存在$K$,当$k>K$时,
\[|x_{n_k}-x|<1 \Rightarrow |x_{n_k}|<1+|x|,\]
或者
\[-1<x-x_{n_k}<a \Rightarrow x_{n_k}<1+x,\]
对于每一个$n$,存在$k_0$,使得$n_{k_0}>n$,则
\[x_n \le x_{n_{k_0}}<1+x,\]
由此可知$1+x$是$x_n$的一个上界,单调有界数列收敛.
另一个方法,利用定义:$x_{n_k} \le x$,$\forall \epsilon>0$,$\exists K$,当$k>K$时,
\[|x_{n_k}-x|<\epsilon,0\le x-x_{n_k}<\epsilon,\]
令$N=n_{K+1}$,则$n>N$时,$\exists k_1,k_2$,使得$n_{k_1} \le n \le n_{k_2}$,
\begin{gather*}x_{n_{k_1}} \le x_n \le x_{n_{k_2}} \\0 \le x-x_{n_{k_2}} \le x-x_n \le x- x_{n_{k_1}} < \epsilon,\end{gather*}
即$|x_n-x|<\epsilon$.

问题2013010205

对每个自然数$n$,用$x_n$表示方程$x+x^2+\cdots+x^n=1$在闭区间$[0,1]$中的根,求$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}$.

来源

数学分析习题课讲义,作者:谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边.

解答

试着做一下变换,把方程变简单一点,看看是否有帮助.
\[x+x^2+\cdots+x^n=x\cdot\frac{1-x^n}{1-x}=1 \Rightarrow 2x-1=x^{n+1}\]
似乎帮助不大.看看能否从单调性来得出结论.
首先,我们证明$x_{n+1}<x_n$,
由于
\[\sum_{1}^{n+1}{x_{n+1}^k}=1=\sum_{1}^{n}{x_n^k}\]
如果$x_{n+1}>x_n$,那么$x_{n+1}^k>x_n^k$,
\[\sum_{1}^{n+1}{x_{n+1}^k}>\sum_{1}^{n}{x_n^k}=1,\]
$x_{n+1}$不可能是方程的根.
于是$x_n \le x_2$,$n \ge 2$,而对于$n=2$,方程在$[0,1]$的根是$x_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
由于$0 < x_n <\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,于是$0<x_n^n<(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n \rightarrow 0$,在前面的等式中,令$n \rightarrow \infty$,就有
\[\frac{x}{1-x}=1,\]
$x = \frac{1}{2}$.这就是所求的极限.