本文源自迪厄多内的《现代分析基础》第一卷的几道题目.

1.试证:具有$n$($n\ge0$)个元素的有限集$X$,它的所有子集的集$B(X)$是具有$2^n$个元素的有限集.

证明:用$T_n$表示$B(X)$的元素个数,则$T_0=1$,$T_1=2$,我们把$X$的子集分类,一类含有元素$a$,一类不含元素$a$.不含有元素$a$的子集共有$T_{n-1}$个,对于含有元素$a$的子集只是在上述子集的基础上再加个元素$a$,因而也有$T_{n-1}$个,于是$T_n=2T_{n-1}$.由此递推式可得$T_n=2^{n}$.

对于要建立递推式的题目,上述分类思想是一类重要方法,本题可用归纳法证明,但是思路是一致的.

2.举出$X$的两个子集$A \supset B$与一个映射$F$的实例,使$F(A-B) \neq F(A)-F(B)$.

解:我们有$F(A-B) \supset F(A) – F(B)$,例子可以在积的第一射影$F$中找到.

\[A=\{(0,1),(1,2),(1,0)\},B=\{(0,1),(1,0)\},\]

于是$F(A-B)=\{1\}$,$F(A)=\{0,1\}$,$F(B)=\{0,1\}$,因此$F(A)-F(B)=\emptyset$,显然$F(A-B) \neq F(A)-F(B)$.

对于集合之间的关系,画出文氏图常可在直观上发现结论,因而学会给集合间的关系画文氏图,培养直观能力.

3.举出$X \to Y$的映射$F$与子集$A \subset X$的例子,使得

(a) $F(X-A) \subset Y-F(A)$;

(b) $F(X-A) \supset Y-F(A)$;

(c) 集$F(X-A)$,$Y-F(A)$互不包含(例如,我们可以把$X$与$Y$取为有限集).

解:(a)只需$F(X) \neq Y$,$F(X-A) \cap F(A) = \emptyset$即可.

\[f(x)=x^2, x \in [0,1], y \in [-1,1],\]

此时,令$A=[0, \frac{1}{2})$.

(b)只要$F(X)=Y$,$F(X-A) \cap F(A) \neq \emptyset$即可.

\[f(x)=x^2,x \in [-1,1], y \in [0,1],\]

此时,令$A=[-1,0]$.

(c)只要$F(X) \neq Y$,$F(X-A) \cap F(A) \neq \emptyset$即可.

\[f(x)=x^2,x \in [-1,1],y \in [-1, 1],\]

令$A=[-1,0]$.

4.对于积$X \times Y$,的任意子集$G$,任意子集$A \subset X$,任意子集$A’ \subset Y$,记$G(A)=\text{pr}_2(G \cap (A \times Y))$,$G^{-1}(A’)=\text{pr}_1(G \cap (X \times A’))$,对于$x \in X$,$y \in Y$,则写成$G(x)$(分别地$G^{-1}(y)$),而不是$G(\{x\})$与$G^{-1}(\{y\})$.证明下列四条性质等价:

(a) $G$是$X$的子集到$Y$的映射的图像;

(b) 对于$Y$的任意子集$A’$,$G(G^{-1}(A’)) \subset A’$;

(c) 对于$Y$的任意一对子集$A’$,$B’$,$G^{-1}(A’ \cap B’) = G^{-1}(A’) \cap G^{-1}(B’)$;

(d) 对于$Y$的任意一对子集$A’$,$B’$.只要$A’ \cap B’ = \emptyset$,就有$G^{-1}(A’) \cap G^{-1}(B’) = \emptyset$.

证明:如果$G$是$X$的子集到$Y$的映射的图像,则b),c),d)成立,现在假设a)不满足,我们的目的是证明b),c),d)也不成立.