问题2013010301

证明Cauchy命题在$l=+\infty$的情形:
设$\{x_n\}$收敛于$l$,则它的前$n$项的算术平均值也收敛于$l$,即
\[\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}} = l.\]

来源

数学分析习题课讲义,作者:谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边.

解答

这个问题不仅结论有用,其证明过程也是值得留意的.
由$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}=\infty$可以得出:$\forall M>0$,$\exists N_1$,当$n>N_1$时,$x_n>M+1$,
\[\begin{aligned}\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}&=\frac{x_1+\cdots+x_{N_1}}{n}+\frac{x_{N_1+1}+\cdots+x_n}{n}\\&>\frac{x_1+\cdots+x_{N_1}}{n} + \frac{(n-N_1)(M+1)}{n}\\&=\frac{x_1+\cdots+x_{N_1}}{n}-\frac{N_1(M+1)}{n} + M+1\end{aligned}\]
$\exists N_2$,使得$n>N_2$时,
\[|\frac{x_1+\cdots+x_{N_1}}{n}-\frac{N_1(M+1)}{n}|<1,\]
于是令$N=\max\{N_1,N_2\}$,则$n>N$时,
\[\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}>M+1-1=M.\]

问题2013010302

设$x_n$单调增加,$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}}=a$,证明:$\{x_n\}$收敛于$a$.

来源

数学分析习题课讲义,作者:谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边.

解答

由于$\{x_n\}$单调,如能证明$\{x_n\}$有上界,则$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}$存在,而此时
\[\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}=a.\]
反证法,利用上一道题目即可,如果$x_n$无界,那么从$x_n$单调增加可知$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}=\infty$,于是$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum{x_i}}{n}}=\infty$,矛盾.
另一方法,可以证明$x_n \le a$,否则,存在$N$,$x_N>a$,于是可以选择$b$,$x_n>b>a$,
\[\frac{\sum{x_i}}{n}=\frac{\sum_{1}^{N}{x_i}}{n}+\frac{\sum_{N+1}^{n}{x_i}}{n}>\frac{\sum_{1}^{N}{x_i}}{n}+\frac{n-N}{n}b,\]
由此$a \ge b$,矛盾.

问题2013010303

设$\{a_{2k-1}\}$收敛于$a$,$\{a_{2k}\}$收敛于$b$,且$a \neq b$,求
\[\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}}.\]
(注意:虽然数列$\{a_n\}$发散,但前$n$项的算术平均值所成的数列仍可以有极限.一个典型的例子就是$\{(-1)^n\}$.)

来源

数学分析习题课讲义,作者:谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边.

解答

根据题设,存在$N$,当$n>N$时,
\begin{gather*}|a_{2k-1}-a|<\epsilon \\|a_{2k}-b|<\epsilon\end{gather*}
于是,
\[\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{2n}}{2n} = \frac{\sum_{1}^{2N}{a_i}}{2n} + \frac{\sum_{2N+1}^{2n}{a_i}}{2n}\]
这里第一个式子可以任意小,第二个式子和$\frac{(n-N)(a+b)}{2n} \rightarrow \frac{a+b}{2}$无限接近.
至于$2n+1$的情形,
\[\begin{aligned}\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{1}^{2n+1}{a_i}}{2n+1}}&=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{1}^{2n}{a_i}}{2n+1}} + \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{a_{2n+1}}{2n+1}}\\&=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{1}^{2n}{a_i}}{2n}\cdot\frac{2n}{2n+1}}=\frac{a+b}{2}.\end{aligned}\]
所求的极限为$\frac{a+b}{2}$.

问题2013010304

若$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(a_n-a_{n-1})}=d$,证明:$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{a_n}{n}}=d$.
(本题可以说是Cauchy命题的另一种形式,也很有用)

来源

数学分析习题课讲义,作者:谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边.

解答

记$s_n=a_n-a_{n-1}$,那么$a_n=\sum_{1}^{n}{s_n}+a_0$,而$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{s_n} = d$,于是
\[\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{1}^{n}{s_n}}{n}} = d+0=d.\]