问题2013042001

计算下列极限:
(1)$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(1 – \frac{1}{n})^n}$;
(2)$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(1 + \frac{1}{2n})^n}$;
(3)$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(1 + \frac{2}{n})^n}$;
(4)$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(1 + \frac{1}{n})^{n^2}}$;
(5)$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(1 + \frac{1}{n^2})^n}$;
(6)$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2})^n}$;

来源

数学分析习题课讲义,作者:谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边.

分析

这道题目不大,唯一需要注意的是在这里只能使用正整数版的$\lim_{n\to\infty}{(1+\frac{1}{n})^n}$.

解答

(1)
\[\lim_{n \rightarrow \infty}{(1 – \frac{1}{n})^n} = \lim_{n \rightarrow \infty}{(\frac{1}{1 + \frac{1}{n-1}})^n}=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1}{(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}(1+\frac{1}{n-1})}}=\frac{1}{e \cdot 1} = e^{-1}.\]

(2)
\[\lim_{n\to\infty}{(1 + \frac{1}{2n})^n} = \lim_{n\to\infty}{((1 + \frac{1}{2n})^{2n})^{1/2}}=e^{1/2}\]

(3)
\[\lim_{n\to\infty}{(1 + \frac{2}{n})^n}=\lim_{n\to\infty}{((1+\frac{2}{n})^{n/2})^2}=e^2,\]
这个结果虽然正确,不过这里和前面一样,需要迂回一下,理由在于$n/2$不是整数,目前不能直接做.分两步完成.
(a)$n$为偶数,
\[\lim_{n\to\infty}{(1+\frac{2}{n})^n}=\lim_{k\to\infty}{(1+\frac{1}{k})^{2k}}=e^2,\]
(b)$n$为奇数,
\[\lim_{n\to\infty}{(1+\frac{2}{n})^n}=\lim_{k\to\infty}{(1+\frac{2}{2k+1})^{2k+1}}\]
注意到
\[\begin{aligned}1 + \frac{2}{2k+1} &> 1 + \frac{2}{2k+2}=1+\frac{1}{k+1}\\1 + \frac{2}{2k+1} &< 1 + \frac{2}{2k} = 1 + \frac{1}{k}\end{aligned}\]
另一方面
\begin{gather*}(1 + \frac{1}{k+1})^{2k+1} = [(1+\frac{1}{k+1})^{k+1}]^2\cdot(1+\frac{1}{k+1})^{-1}\to{}e^2\cdot1^{-1}=e^2,\\(1 + \frac{1}{k})^{2k+1}=[(1+\frac{1}{k})^k]^2\cdot(1+\frac{1}{k})\to{}e^2\cdot1=e^2,\end{gather*}
使用夹逼准则,
\[\lim_{k\to\infty}{(1 + \frac{2}{2k+1})^{2k+1}} = e^2.\]

(4)
\[\lim_{n\to\infty}{(1+\frac{1}{n})^{n^2}} = \lim_{n\to\infty}{[(1+\frac{1}{n})^n]^n} = +\infty\]
使用定义来证明:$\forall M>0$,$\exists N_1$,当$n>N_1$时,$2^n>M$,而$\lim{(1+\frac{1}{n})^n}=e>2$,于是存在$N_2$,当$n>N_2$时,$(1+\frac{1}{n})^n>2$,选择$N=\max\{N_1,N_2\}$,此时,$n>N$,有
\[(1+\frac{1}{n})^{n^2}=[(1+\frac{1}{n})^n]^n>2^n>M.\]

(5)
\[\lim_{n\to\infty}{(1 + \frac{1}{n^2})^n}=\lim_{n\to\infty}{[(1+\frac{1}{n^2})^{n^2}]^{1/n}}=1.\]
使用夹逼准则,由于$(1+\frac{1}{n^2})^{n^2}\to{}e$,$\exists N_1$,$n>N_1$时,
\[\frac{e}{2}<(1+\frac{1}{n^2})^{n^2}<\frac{3e}{2},\]
因此
\[(\frac{e}{2})^{1/n} < (1+\frac{1}{n^2})^n<(\frac{3e}{2})^{1/n},\]
两边趋于$1$,故$\lim_{n\to\infty}{(1+\frac{1}{n^2})^n}=1$.

(6)
\[\lim{(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})^n}=\lim{(1+\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2})^{\frac{1}{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}\cdot{}n(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}}=\lim{e^{1+\frac{1}{n}}}=e.\]
还是使用夹逼准则:
\[\begin{aligned}(1+\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2})^n &> (1+\frac{1}{n})^n \to e \\(1+\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2})^n &=(1 + \frac{n+1}{n^2})^{n}<(1 + \frac{n+1}{n^2-1})^n=(1 + \frac{1}{n-1})^n \\&=(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}\cdot(1+\frac{1}{n-1}) \to e \cdot 1 = e.\end{aligned}\]

问题2013042002

设$k \in N+$,证明:
\[\frac{k}{n+k}<\ln(1 + \frac{k}{n})<\frac{k}{n}.\]

来源

数学分析习题课讲义,作者:谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边.

解答

\[1\cdot(1+\frac{k}{n})^n<(\frac{n(1 + \frac{k}{n})+1}{n+1})^{n+1} = (\frac{n+1+k}{n+1})^{n+1}=(1+\frac{k}{n+1})^{n+1}\]
说明$(1+\frac{k}{n})^n$单调递增.于是
\[(1+\frac{k}{n})^n<e^k \Rightarrow n\ln(1+\frac{k}{n})<k \Rightarrow \ln(1+\frac{k}{n})^n<\frac{k}{n},\]
至于左边部分不等式,需要考虑$(1+\frac{k}{n})^{n+k}$单调递减,$k \ge 1$.我一开始选择考虑$(1+\frac{k}{n})^{n+1}$,不能满足要求,那么应该从不等式出发.
\[\frac{\frac{k}{n}}{1+\frac{k}{n}}<\ln{(1+\frac{k}{n})^{n+k}}.\]
我们首先看看如果$(1+\frac{k}{n})^{n+k}$单调递减,能否得到结论:
\[\lim{(1+\frac{k}{n})^n\cdot(1+\frac{k}{n})^k}=e^k\cdot{}1=e^k,\]
根据单调性
\[(1+\frac{k}{n})^{n+k}>e^k \Rightarrow (n+k)\ln{(1 + \frac{k}{n})}>k \Rightarrow \ln{(1+\frac{k}{n})}>\frac{k}{n+k}.\]
能够得到结论:下面证明单调性(平均值不等式):
\[\begin{aligned}(1+\frac{k}{n})^{n+k}&=(\frac{n+k}{n})^{n+k}=\frac{1}{(\frac{n}{n+k})^{n+k}}=\frac{1}{(1 – \frac{k}{n+k})^{n+k}}\\(1-\frac{k}{n+k})^{n+k} &= 1 \cdot (1 – \frac{k}{n+k})^{n+k} \le (\frac{(n+k)(1 – \frac{k}{n+k})+1}{n+k+1})^{n+k+1} \\&=[\frac{n+k-k+1}{n+k+1}]^{n+k+1}=[\frac{n+1}{n+1+k}]^{n+k+1}\\&=[1 – \frac{k}{n+1+k}]^{n+1+k}\end{aligned}\]
获证.这里还需要$\lim{(1+\frac{k}{n})^n}=e^k$的结论.简单推导如下($n=km+l$):
\[\begin{aligned}\lim{(1+\frac{k}{n})^n}&=\lim{(1+\frac{k}{km+l})^{km+l}}\le\lim{(1 + \frac{1}{m})^{km+l}}\\&=e^k\cdot1^l=e^k\\\lim{(1+\frac{k}{n})^n}&=\lim{(1+\frac{k}{km+l})^{km+l}}\ge\lim{(1 + \frac{k}{k(m+1)})^{k(m+1)+(l-k)}}\\&=e^k\cdot1^{l-k}=e^k.\end{aligned}\]

问题2013042003

求$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(1 + \frac{1}{n^2})(1 + \frac{2}{n^2})\cdots(1+\frac{n}{n^2})}$.

来源

数学分析习题课讲义,作者:谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边.

解答

对于这道题目,一开始是各种试验,最后总算成功了.
首先采用了夹逼准则,放缩方法如下:
\begin{gather*}(1 + \frac{1}{n^2})\cdots(1+\frac{n}{n^2})\ge(1+\frac{1}{n^2})^n \to 1\\(1 + \frac{1}{n^2})\cdots(1+\frac{n}{n^2})\le(1 + \frac{1}{n})^n \to e\end{gather*}
失败,下一个(Bernoulli不等式)
\[\begin{aligned}(1 + \frac{1}{n^2})\cdots(1+\frac{n}{n^2}) &\ge 1 + \frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{n}{n^2}\\&=1+\frac{1+\cdots+n}{n^2}=1 + \frac{n+1}{2n} \to \frac{3}{2}\end{aligned}\]
转向,使用前面的题目中出现的不等式:
\[\frac{k}{n^2+k} < \ln{(1 + \frac{k}{n^2})} < \frac{k}{n^2},\]
对$k=1,2,\cdots,n$求和
\[\sum{\frac{k}{n^2+k}} \le \sum{\ln{(1 + \frac{k}{n^2})}} \le \sum{\frac{k}{n^2}},\]
右边趋于$\frac{1}{2}$,至于左边,继续摸索,
\[\begin{aligned}\sum{\frac{k}{n^2+k}} &= \frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+2} + \cdots + \frac{n}{n^2+n}\\&>\frac{n}{n^2+1} \to 0\\&<\frac{n}{n+1} \to 1\end{aligned}\]
失败,进行变形:
\[\frac{\frac{k}{n^2}}{1+\frac{k}{n^2}}=\frac{k}{n^2}(1 + (-\frac{k}{n^2}) + (-\frac{k}{n^2})^2 + \cdots),\]
似乎有门:
\[\begin{aligned}\sum{\frac{k}{n^2+k}} &= \sum{\frac{\frac{k}{n^2}}{1+\frac{k}{n^2}}} = \sum{\frac{k}{n^2}(1 + (-\frac{k}{n^2}) + (-\frac{k}{n^2})^2 + \cdots)} \\&=\sum{\frac{k}{n^2}} – \sum{\frac{k^2}{n^4}} + \frac{k^3}{n^6}-\cdots\\&\to \frac{1}{2}-0+0-\cdots\end{aligned}\]
如果上述推导成立,那么有
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(1 + \frac{1}{n^2})(1 + \frac{2}{n^2})\cdots(1+\frac{n}{n^2})} = e^{1/2}=\sqrt{e}.\]
我们需要严格证明上述过程,继续试验(原来是希望首尾项相加,能够得出有用的结论)
\[\frac{k}{n^2+k} + \frac{n-k}{n^2+n-k} \ge \frac{1}{n},\]
前面的讨论实际上有了思路了(下面不等式就是受幂级数展开的启发),
\[\frac{k}{n^2+k} \ge \frac{k}{n^2}(1 – \frac{k}{n^2})=\frac{k}{n^2}-\frac{k^2}{n^4}\]
这个不等式很容易证明,于是
\[\sum{\frac{k}{n^2+k}} \ge \sum{\frac{k}{n^2}} – \sum{\frac{k^2}{n^4}} \to \frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}\]

问题2013042004

设$\{p_n\}$是正数列,且$p_n \rightarrow +\infty$,计算$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(1 + \frac{1}{p_n})^{p_n}}$.

来源

数学分析习题课讲义,作者:谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边.

解答

首先注意到
\[[p_n] \le p_n <[p_n]+1, \quad \frac{1}{[p_n]} \ge \frac{1}{p_n}>\frac{1}{[p_n]+1}\]
于是有
\begin{gather*}(1+\frac{1}{[p_n]})^{p_n} \ge (1 + \frac{1}{p_n})^{p_n} > (1 + \frac{1}{[p_n]+1})^{p_n} \\(1 + \frac{1}{[p_n]})^{[p_n]+1} \ge (1 + \frac{1}{p_n})^{p_n} > (1 + \frac{1}{[p_n]+1})^{[p_n]}\\e\cdot1 \ge \lim{(1 + \frac{1}{p_n})^{p_n}} \ge e \cdot 1^{-1}\end{gather*}
得到结果了.