不等式基础理论总结
加法相关定理
T1 对于所有的$a,b,c \in \mathbb{R}$，有
\[a < b \longleftrightarrow a + c < b + c\]
（反方向“$\longleftarrow$”说明可以消去$c$，因而它表示了消去律。）
T2 对所有$a,b,c,d \in \mathbb{R}$
\[\left\{\begin{aligned}a < b\\c < d\end{aligned}\right. \longrightarrow a + c < b + d.\]
乘法相关定理
T3 对于所有的$a,b,c \in \mathbb{R}$，$c > 0$，有
\[a < b \longleftrightarrow a \cdot c < b \cdot c\]
（反方向“$\longleftarrow$”说明可以消去$c$，并且保持不等号方向。）
T4 对所有$a,b,c,d \in \mathbb{R}$，$c < 0$，有
\[a < b \longleftrightarrow a \cdot c > b \cdot c\]
（反方向“$\longleftarrow$”说明可以消去$c$，但是改变不等号方向。）
T5 对于所有$a,b,c,d \in \mathbb{R}$，$a,b,c,d \ge 0$
\[\left\{\begin{aligned}a < b\\ c < d\end{aligned}\right.\longrightarrow a \cdot c < b \cdot d.\]
T6 对于所有$a,b,c,d \in \mathbb{R}$，$a,b,c,d \le 0$
\[\left\{\begin{aligned}a < b\\ c < d\end{aligned}\right.\longrightarrow a \cdot c > b \cdot d.\]
乘幂相关定理
T7 对于所有的$a,b \in \mathbb{R}$，$n$为奇数（自然数），有
\[a < b \longleftrightarrow a^n < b^n\]
T8 对于所有的$a,b \in \mathbb{R}$，$a,b \ge 0$，$n$为偶数（自然数），$n \neq 0$，有
\[ a < b \longleftrightarrow a^n < b^n\]
T9 对于所有的$a,b \in \mathbb{R}$，$a,b \le 0$，$n$为偶数（自然数），$n \neq 0$，有
\[ a < b \longleftrightarrow a^n > b^n\]
T10 对于所有的$a,x,y \in \mathbb{R}$，$a > 1$，有
\[ x < y \longleftrightarrow a^x < a^y\]
T11 对于所有的$a,x,y \in \mathbb{R}$，$0 < a < 1$，有
\[ x < y \longleftrightarrow a^x > a^y\]
T12 对于所有的$a,x,y \in \mathbb{R}$，$a > 1$，$x,y > 0$，有
\[ x < y \longleftrightarrow \log_a{x} < \log_a{y}\]
T13 对于所有的$a,x,y \in \mathbb{R}$，$0 < a < 1$，$x,y > 0$，有
\[ x < y \longleftrightarrow \log_a{x} > \log_a{y}\]
倒数相关定理
T14 对于所有的$a,b \in \mathbb{R}$，$a,b > 0$，有
\[ a < b \longleftrightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b}\]
T14 对于所有的$a,b \in \mathbb{R}$，$a,b < 0$，有
\[ a < b \longleftrightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b}\]
习题
假设$\left\{\begin{aligned}&-1 < a < 2\\&3 < b < 5\end{aligned}\right.$，找到下列表达式的最大变动范围。
(i) $3a+b^2$;
(ii) $a^3 + \frac{1}{b}$;
(iii) $\frac{2^a}{\log_2{b}}$.
解：使用前面相关的不等式性质即可。
(i)由T3和$-1<a<2$，可以得到$-3 < 3a < 6$，由T8和$3 < b < 5$得到$9 < b^2 < 25$，再结合T2，得到$6 < 3a + b^2 < 31$。
(ii)由T7和$-1<a<2$，可以得到$-1<a^3<8$，由T14和$3<b<5$得到$\frac{1}{5} < \frac{1}{b} < \frac{1}{3}$，再结合T2得到$-\frac{4}{5} < a^3 + \frac{1}{b} < \frac{25}{3}$.
(iii)由T10和$-1<a<2$，可以得到$2^{-1} < 2^a < 2^2$，由T12和$3<b<5$得到$0 < \log_2{3} < \log_2{b} < \log_2{5}$，由T14，$0 < \frac{1}{\log_2{5}} < \frac{1}{\log_2{b}} < \frac{1}{\log_2{3}}$，结合T5，可以得到$\frac{2^{-1}}{\log_2{5}} < \frac{2^a}{\log_2{b}} < \frac{2^2}{\log_2{3}}$，也就是$\frac{1}{2}\log_5{2} < \frac{2^a}{\log_2{b}} < 4\log_3{2}$.