集合，数列，函数

理论背景

集合的上界和下界

设$A$是$\mathbb{R}$的子集，实数$L$是$A$的上界，当且仅当对于所有的$x \in A$，有$x \le L$。
设$A$是$\mathbb{R}$的子集，实数$l$是$A$的下界，当且仅当对于所有的$x \in A$，有$x \ge l$。

集合的最大值和最小值

设$A$是$\mathbb{R}$的子集，实数$M$是$A$的最大值，当且仅当$M$是$A$的上界，并且$M \in A$。
设$A$是$\mathbb{R}$的子集，实数$m$是$A$的最小值，当且仅当$m$是$A$的下界，并且$m \in A$。

集合的上确界和下确界

关于上确界的下面两个定义等价：
（1）$\mathbb{R}$的子集$A$的上确界是最小上界。
（2）实数$L$是$\mathbb{R}$的子集$A$的上确界当且仅当它满足以下两个条件：
对所有$x \in A$有$x \le L$（也就是$L$是上界）；
对于任意$\epsilon > 0$，存在$x \in A$，满足$x > L – \epsilon$（也就是说$L$是最小上界）。

关于下确界的下面两个定义等价：
（1）$\mathbb{R}$的子集$A$的下确界是最大下界。
（2）实数$l$是$\mathbb{R}$的子集$A$的下确界当且仅当它满足以下两个条件：
对所有$x \in A$有$x \ge l$（也就是$l$是下界）；
对于任意$\epsilon > 0$，存在$x \in A$，满足$x < l + \epsilon$（也就是说$l$是最大下界）。

集合的极限点

关于极限点的下面两个定义等价：
（1）实数$c$称为是$\mathbb{R}$的子集$A$的极限点，当且仅当$c$的任一邻域中包含$A$中无限多个元素。
（2）实数$c$称为是$\mathbb{R}$的子集$A$的极限点，当且仅当$c$的任一邻域中至少包含$A$中一个异于$c$的元素。
注意：在极限点的定义中，并没有要求$c \in A$，因此极限点$c$可能属于$A$，也可能不属于$A$。

定义域（domain），陪域（codomain）和函数的像集

给定两个$\mathbb{R}$的子集$A$和$B$，一个$A$到$B$的函数$f$，集合$A$称为$f$的定义域，集合$B$称为$f$的陪域。$f$的陪域是$f$的目标集，不要和$f$的像集$\mathop{Im}(f)$相混淆，定义如下：
\[\operatorname{Im}(f) = \{y \in B: \exists x \in A, f(x) = y \}.\]
函数$f$的定义域也记为$D(f)$。

注意：
对于本书中出现的实值函数，如果陪域$B$没有明确指出，它就是指$B = \mathbb{R}$。需要注意，对于用表达式定义的函数，如果没有明确给出定义域，通常假设定义域为使得表达式有意义（有定义）的$\mathbb{R}$的最大子集。因此，如果我们有如下函数
\[ f(x) = \frac{1}{x-1}\]
而没有说明定义域，那么就认为$A = \mathbb{R} \backslash \{1\}$以及$B = \mathbb{R}$。此时$f$的像集为
\[\operatorname{Im}(f) = \mathbb{R} \backslash \{0\}\]
是$\mathbb{R}$的真子集。通常把$\mathbb{R} \backslash \{1\}$称为上述函数$f$的自然定义域。注意到，有可能考虑$f$为定义于$\mathbb{R} \backslash\{1\}$的子集上的函数。例如，可能考虑从$A = \{x \in \mathbb{R}: x > 1\}$到$B = \mathbb{R}$的和上述表达式一样的函数$g$，也就是对所有$x > 1$：
\[g(x) = \frac{1}{x-1}.\]
注意到，
\[\operatorname{Im}(g) = \{y \in \mathbb{R}:y>0\}.\]
类似的，可以延拓函数$f$为从$A = \mathbb{R}$到$B = \mathbb{R}$的函数$h$，例如
\[h(x) = \left\{\begin{aligned}&\frac{1}{x-1}, &\quad x \neq 0,\\&0, &\quad x = 0.\end{aligned}\right.\]
（这里$h(0)$的定义是任意的，可以根据不同的环境，随意修改它）。注意到此时
\[\operatorname{Im}(h) = \mathbb{R}.\]
一般的，函数$g$和$h$是不同于$f$的，特别地，$g$是$f$的限制，而$h$是$f$的延拓。

函数的延拓和限制

给定两个函数$y=f_1(x)$和$y=f_2(x)$，它们的图像分别记为$G_1$和$G_2$，函数$f_2$是$f_1$的延拓，或者等价的，$f_1$是$f_2$的限制，当且仅当$G_1 \subset G_2$。

单射，满射和可逆函数

给定两个$\mathbb{R}$的子集$A$和$B$，以及从$A$到$B$的函数$f$，我们说：
(i) $f$是单射，如果对于所有的$x_1,x_2 \in A$，在$x_1 \neq x_2$时必有$f(x_1) \neq f(x_2)$；
(ii) $f$是满射，如果对每一个$y \in B$，都存在$x \in A$使得$f(x) = y$；
(iii)$f$是可逆的，如果$f$既是单射又是满射。此时我们也称$f$为双射。
如果$f$是可逆的，$f$的逆函数是指从$B$到$A$的函数$f^{-1}$：$f^{-1}(y) = x$，其中$x$是$A$中唯一确定的满足$f(x)=y$的元素。
很明显，函数是满射当且仅当$\operatorname{Im}(f)=B$。
如果$A$到$B$的函数$f$是单射，那么同一个函数$f$，在作为从$A$到它的像集$\operatorname{Im}(f)$的函数时，就变成了满射，从而是可逆的。于是，我们可以定义$\operatorname{Im}(f)$到$A$的逆映射$f^{-1}$。有时会以这种更广的意义下讨论单射的逆映射，通常是初等水平的。不管如何，如果函数$f$的陪域$B$没有说明，默认就是假设$B = \mathbb{R}$，因此$f$在$\operatorname{Im}(f) = \mathbb{R}$时才是满射。

可数集和不可数集

称$\mathbb{R}$的子集$A$是可数的，如果它是有限的，或者存在一个$A$到自然数集$\mathbb{N}$的双射。称$A$是不可数的，如果它不是可数集。
等价的，$\mathbb{R}$的子集$A$是可数的，如果存在$A$到$\mathbb{N}$的单射。除了自然数集，典型的可数集还有整数集$\mathbb{Z}$和有理数集$\mathbb{Q}$。更进一步，可数集合的任意子集都是可数的。例如，全体非负偶数的集合是可数的，因为每个自然数乘以2就可以定义自然数集到非负偶数集合的一个双射。实数集合，全体无理数集合都是不可数的。

代数函数和超越函数

设$f$是一个定义在区间$I \subset \mathbb{R}$上的实值函数。我们说$f$是（$\mathbb{R}$上）代数的，如果存在一个二元的非零实系数多项式$P(x,y)$，使得对于所有的$x \in I$成立的
\[P(x, f(x)) = 0.\]
我们说$f$是超越的，如果它不是代数的。
代数函数的图像是代数曲线的一支分支。一般的，由多项式$P(x,y)$定义的代数平面曲线是由满足$P(x,y)=0$的$(x,y) \in \mathbb{R}^2$构成的集合。由于一条代数曲线能由方程$P(x,y)=0$决定（这里我们不考虑涉及不可约多项式的情形，因为我们不需要它），代数曲线的度（或者次数degree）通常定义为多项式$P(x,y)$的次数。在本书中，我们把代数函数和代数曲线的概念看作是等价的。在这个意义上，稍微滥用一下术语，我们可以用代数函数的次数来理解多项式$P(x,y)$的次数。
在初等水平上，我们考虑一类特殊的代数函数的例子，使用有限个像加减乘除以及分数次幂这样的代数运算得到的。代数函数的例子如下：
多项式函数：$y = b_0 + b_1x + \cdots + b_px^p$;
有理函数：$y = \frac{b_0 + b_1x + \cdots + b_px^p}{c_0 + c_1x + \cdots + c_qx^q}$;
根式：$y = \sqrt[r]{b_0 + b_1x + \cdots + b_px^p}$.
其中系数$b_i,c_i$都是实数，$p,q,r$是自然数。在这些例子中，找到一个方程$P(x,y) = 0$满足函数$y=f(x)$是非常简单的：第三种情形，可以由$P(x,y)=y^r – b_0 – b_1x – \cdots – b_px^p$给出。
超越函数的例子有：
三角函数及其反函数：$y = \sin{x}, y =\cos{x}, y=\tan{x}, y = \arcsin{x}, y=\arccos{x}, y=\arctan{x}$;
指数函数和对数函数：$y = e^x, y = \log{x}$;
必须注意一个事实：有理函数和根式函数并不能包含所有的代数函数。实际上，著名的Abel-Ruffini定理表明五次或者更高次的代数方程在一般情形没有根式解。因此，存在代数函数不能用根式表示出来。在这些情况下，我们需要考虑超自由基（ultraradicals）。例如，如下经典方程
\[y^5 + y – x = 0\]
的实数解$y$定义了一个代数函数$y=f(x)$，$f(x)$称为$x$的一个超自由基或者Bring根式（归功于数学家Erland Samuel Bring(1736-1798)）【布灵根式】。如图所示。注意，这个函数显然就是多项式函数$y=x^5+x$的逆函数，是一个单调递增的。
我们相信，记住上述函数分类对于了解问题的复杂程度非常有用，即使人们忘记了超自由基并将注意力集中在基本代数函数上，例如上面列出的那些以及标准教科书中经常讨论的所有其他函数。