假设我们知道:

称为自然数的那些对象的一集合（即整体），它们具有下列性质，这些性质称为公理。

叙述公理之前，我们首先把将要使用的符号$=$和$\neq$略加说明。

若无其它声明时，小写拉丁字母在这书中都表自然数。

设$x$是已知，$y$是已知，则有下列两情形：

或是$x$和$y$是同一的数，这可记为

\[x = y\]

($=$读为”等于”);

或是$x$和$y$不是相同的数，这可记为

\[x \neq y\]

($\neq$读为”不等于”)。

准此，根据纯粹逻辑，下列各项成立：

1) 对每一$x$,

\[x=x\].

2) 设

\[x=y,\]

则

\[y=x.\]

3) 设

\[x = y, y = z,   \]

则

\[ x = z.\]

\[ a=b=c=d \]

之类的写法，表面上虽仅指

\[a = b, b = c, c = d,   \]

但它还有其它含义，例如

\[a = c, a = d, b = d.    \]

（以后各章中仿此。）

现在假设自然数集合具有下列性质：

公理1 $1$是自然数。

即自然数集合不是空集合，它含有一对象，这对象称为$1$（读为“一”）。

公理2 对每一$x$，恰有一自然数称为$x$的后邻，记为$x’$。

对于复杂的自然数$x$，为了写出它的后邻，我们应先把这数放在括号内，否则可能发生混淆。对于$x+y$, $xy$, $x-y$, $-x$, $x^y$等等，在全书中也都是这样处理。

根据这公理，设\[x=y,\]

则\[x’=y’.\]

公理3 恒有 \[x’ \neq 1.\]

即无一数的后邻是1。

公理4 设 \[x’=y’,\]

则\[x=y.\]

即对每一已知数，或是无一数以它为后邻，或是恰有一数以它为后邻。

公理5 （归纳公理）设$\mathfrak{M}$是自然数的一集合，它具有下列性质：

I） $1$属于$\mathfrak{M}$。

II）设$x$属于$\mathfrak{M}$，则$x’$属于$\mathfrak{M}$。

则$\mathfrak{M}$包含一切自然数。