数轴与实数
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在一直线$l$上确定点$O$和另一定点$E$。设点$A$是$l$上的任意点。$OA$表示以$OE$的长度为单位所量得的$O$、$A$两点间的距离。除去$O$与$A$重合的情形，距离$OA$是正数。
使直线$l$上的点$A$与定数$a$相对应如下：
- 从O看A与E在同侧时， $a = OA$
- 从O看A与E在异侧时， $a = -OA$
- A与O重合时， $a = 0$
于是，$l$上的每个点分别与数相对应，与不同的两个点相对应的数是不等的。
当把直线上的所有点考虑为用数表示其与每个点相对应时，则$l$叫做数轴，$O$叫做原点，$E$叫做单位点。与数轴$l$上点$A$对应的数叫做$A$的坐标，当$a$是$A$的坐标时记作$A(a)$，并把点$A$简称作点$a$。
数有很多种，首先，数东西时所使用的数
\[1,2,3,\cdots\]
叫做自然数或正整数。
\[-1,-2,-3,\cdots\]
叫做负整数。正整数、负整数以及0统称为整数。
整数，如下图所示，用数轴上按相等间隔排列的点表示。相邻两点$A(m)$与$B(m+1)$的间隔是1.
如上，按水平画出数轴时，通常把单位点$E$取在原点的右侧。也就是正方向（数逐渐变大的方向）是向右的。
用整数$m,n$表为$\frac{m}{n}$形式的数叫做有理数。因为整数$m$可以表为$\frac{m}{1}$，所以是有理数。
设取定一个自然数$n$，$\frac{m}{n}$（$m$是整数）形式的有理数，可用数轴上按$\frac{1}{n}$间隔排列的点表示。
下图是表示$\frac{m}{5}$形式的有理数的点：
注：如果$n$充分大时，则间隔$\frac{1}{n}$就成为无限小。因此，在数轴上不论取多么短的线段$PQ$，只要$P$与$Q$不重合，则在$P$与$Q$之间存在无限多个表示有理数的点。
非整数的有理数，表为小数形式时，如
\[-\frac{1}{8} = -0.125\]
的有限小数，或如
\[\begin{aligned}\frac{4}{3} &= 1.3333\cdots\\\frac{9}{74} &= 0.1216216216\cdots\end{aligned}\]
从小数的某位以后是相同数字无限循环的无限小数。这样的小数叫做循环小数。
如图，已知数轴$l$上的线段$OE$为一个边的正方形。
以$O$为圆心，以正方形的对角线长为半径画圆，与$l$的交点为$P$、$Q$时，则$P$与$Q$分别表示$\sqrt{2}$与$-\sqrt{2}$。$\sqrt{2}$和$-\sqrt{2}$不是有理数。
这样，在数轴上存在不与有理数对应的点。当$l$上的点$A$不与有理数对应时，表示$A$的数，即$A$的坐标叫做无理数。
例如，$\sqrt{2}$就是无理数。圆周率$\pi$也是无理数。
无理数是如
\[\begin{aligned}&\sqrt{2} = 1.41421\cdots\\ &\pi = 3.14159\cdots \end{aligned}\]
的非循环无限小数。
有理数与无理数统称为实数。
于是，因数轴$l$的任意点的坐标是实数，如果使$l$上的点与它的坐标相对应，则$l$上的所有点与所有实数一一对应。
由上述结果，可将实数分类如下：
实数的运算与大小
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实数的运算
二整数的和、差、积仍是整数。亦即，在整数范围，加法，减法，乘法是可实行的。把这一性质表述为：整数集对于加法、减法、乘法封闭。然而，$4 \div 3$这样的除法在整数范围不能作。
二有理数的和、差、积是有理数。而且，如果b不为0时，则商$\frac{a}{b}$也是有理数。即在有理数范围四则运算可实现。把这一性质表述为：有理数集对于四则运算封闭。
注意 因为任意数都不能除以0，所以规定0作除数除外。
在实数范围四则运算也是可实现的。
- 整数集：对于加法、减法、乘法是封闭的。对于除法不封闭。
- 有理数集： 对于四则运算封闭的。
- 实数集： 对于四则运算封闭的。
关于实数的加法和乘法，与有理数的情况类似，下列熟知的算律成立：
- 交换律 $a + b = b+a \qquad ab=ba$
- 结合律 $(a+b) + c = a + (b+c) \quad (ab)c = a(bc)$
- 分配律 $a(b+c) = ab + ac \quad (b+c)a = ba + ca$
又因，$a-b$与$a + (-b)$相同，$a \div b$（$b \neq 0$）与$a \cdot \frac{1}{b}$相同，所以减法和除法可化为加法和乘法去处理。
例题1 应用$\pi$是无理数，证明：$\pi + \frac{1}{3}$是无理数。
证明：设$\pi + \frac{1}{3} = a$。现在假定$a$不是无理数，则$a$是有理数。把$\pi+\frac{1}{3}=a$变形为：$\pi = a – \frac{1}{3}$。
因为$\frac{1}{3}$是有理数，所以$a – \frac{1}{3}$是有理数。
这与$\pi$是无理数相矛盾。
因此，上面的假定是错误的。即$\pi+\frac{1}{3}$是无理数。
在上述证明中，利用了“从假定结论不成立引起矛盾，得出结论必须成立”的推理。这样的证明方法叫做反证法。
实数的运算与大小
在水平的数轴上，正数是原点右侧的点所表示的数，负数是原点左侧的点所表示的数。
任意实数不外是正数、0或负数。若$a$是正的则$-a$是负数，若$a$是负的，则$-a$是正数。
所有正实数对于加法、乘法封闭。即，如果$a,b$都为正数时，则和$a+b$与积$ab$是正数。
对于实数$a,b$，$a-b$是正的这一事实与$a$比$b$大（$b$比$a$小）是一回事。这时，记作：$a>b$或$b<a$。就数轴来说，$a>b$表示点$a$在点$b$的右侧。
特别是：$a$是正的表示为$a > 0$，$a$是负的表示为$a<0$。
$a<0$与$-a>0$是一回事。
把$a$大于$b$或$a$等于$b$这一事实，表示为$a \ge b$。
实数的平方与绝对值
设$a$为实数时，
- 若$a > 0$, 则 $a^2 > 0$
- 若$a = 0$, 则 $a^2 = 0$
- 若$a < 0$, 则因$-a > 0$，所以，$(-a)^2 > 0$，$\therefore a^2 > 0$
因此，
对于任意实数$a$，$a^2 \ge 0$
仅当$a=0$时，$a^2=0$成立。
例题2 $a,b$为实数，若$a^2 + b^2 = 0$时，证明：$a=0, b=0$。
证明：因为$a^2 \ge 0$, $b^2 \ge 0$。若$a^2+b^2=0$，则$a^2=0$, $b^2=0$，因此，$a=0$, $b=0$.
对于实数$a$，其绝对值$|a|$定义如下：
- 当$a \ge 0$时, $|a| = a$
- 若$a < 0$时,$|a| = -a$
因为$a$为负数时$-a$是正的，所以实数的绝对值总为正数或0。
在数轴上，$|a|$表示原点与点$a$的距离。
例题3 对任意实数$a$，证明：$|a|^2=a^2$.
证明：就$a \ge 0$与$a < 0$分别加以考虑。
（i）当$a \ge 0$时，因为$|a|=a$，所以$|a|^2=a^2$.
（ii）当$a < 0$时，因为$|a|=-a$，所以$|a|^2=(-a)^2=a^2$.
由（i），（ii）可知，对于任意实数$a$，$|a|^2=a^2$成立。
平方根式的计算
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平方根
平方等于$a$的数$x$，也就是使
\[x^2=a\]
成立的$x$叫做$a$的平方根。
正数的平方根有两个，其中一个是正数，另一个是负数。
正数$a$的正平方根用$\sqrt{a}$表示，负平方根用$-\sqrt{a}$表示。
0的平方根显然只有一个。规定
\[\sqrt{0}=0\]
在实数范围内负数不存在平方根。
平方根式的计算
关于平方根，下列公式成立：
[I] 当$a > 0, b>0$时,
\[\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}.\]
[II]当$a > 0, b>0$时,
\[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}.\]
证明：[I]的证明：
\[(\sqrt{a}\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2(\sqrt{b})^2=ab\]
另一方面，因为$\sqrt{a} > 0$，$\sqrt{b} > 0$，
所以$\sqrt{a}\sqrt{b} > 0$
因此, $\sqrt{a}\sqrt{b}$是$ab$的正平方根。即令
\[\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}.\]
其次，当$a > 0, b>0$时，应用公式(I)，则有
\[\sqrt{a^2b} = \sqrt{a^2}\sqrt{b} = (\sqrt{a})^2\sqrt{b}=a\sqrt{b}.\]
亦即，下式成立：
当$a > 0, b>0$时，
\[\sqrt{a^2b} = a\sqrt{b}.\]
例题1 化简下式：
(1) $\sqrt{12} + \sqrt{27} – 4\sqrt{3}$
(2) $(2\sqrt{2} + 5\sqrt{3})(\sqrt{2} – 2\sqrt{3})$
解：(1)
\[ \begin{aligned}\sqrt{12} + \sqrt{27} – 4\sqrt{3} &= 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} – 4\sqrt{3}\\ &=(2+3-4)\sqrt{3} = \sqrt{3}\end{aligned} \]
(2)
\[ \begin{aligned} &(2\sqrt{2} + 5\sqrt{3})(\sqrt{2} – 2\sqrt{3})\\ &\quad=(2\sqrt{2} + 5\sqrt{3})\times\sqrt{2} – (2\sqrt{2}+5\sqrt{3})\times2\sqrt{3}\\ &\quad=4 + 5\sqrt{6} – 4\sqrt{6}-30\\ &\quad=-26 + \sqrt{6} \end{aligned} \]
分母有理化
含根式的分母，可如下化为分母不含根式的形式。
\[\frac{1}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{4(\sqrt{3})^2}=\frac{\sqrt{3}}{12}\]
例题2 试将$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} – \sqrt{2}}$的分母化为有理数的形式。
[解] 分母与分子同乘以$\sqrt{5} + \sqrt{2}$，则
\[\begin{aligned}\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} – \sqrt{2}} &= \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}\\ &= \frac{5 + \sqrt{5}\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 – (\sqrt{2})^2} = \frac{5 + \sqrt{10}}{3} \end{aligned}\]
如上所作的变形，叫做分母有理化。
在求$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} – \sqrt{2}}$的近似值时，利用书后的平方根表（第五位小数已四舍五入）求出$\sqrt{5}$,$\sqrt{2}$，把它代入作计算，莫如应用例题2的结果按下面的作法，不仅计算容易，而且可得到精确的近似值。
由平方根读出$\sqrt{10} \approx 3.1623$，则
\[\begin{aligned}\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} – \sqrt{2}} &= \frac{5 + \sqrt{10}}{3}\\ &\approx\frac{5 + 3.1623}{3} \approx 2.7208 \end{aligned}\]
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