这一节的关键是叶果洛夫定理,它给出了几乎处处收敛与一致收敛的关系.在定义方面,则是引入了一种新的收敛.

依测度收敛:设$f(x)$,$f_1(x)$,$\cdots$,$f_k(x)$,$\cdots$是$E$上几乎处处有界的函数,若对任给的$\epsilon>0$,有

\[\lim_{k \rightarrow \infty}{m(\{x | |f_k(x) – f(x)| > \epsilon\})} = 0,\]

则称$f_k(x)$在$E$上依测度收敛于$f(x)$.

依测度基本列: 设$\{f_k(x)\}$是$E$上的几乎处处有限的可测函数列, 若对任给的$\epsilon > 0$, 有

\[\lim_{\substack{k \rightarrow \infty \\ j\rightarrow \infty}}{m(\{x | |f_k(x)-f_j(x)| > \epsilon\})} = 0\]

则称$\{f_k(x)\}$为$E$上的依测度基本列.

依测度收敛在概率论中有具体含义.

几乎处处收敛: 存在$Z \subset E$, $m(Z) = 0$, $\lim{f_k(x)} = f(x)$, $x \in E \backslash Z$.

(1)若$\{f_k(x)\}$是$E$上的可测函数列, $\lim{f_k(x)} = f(x)$ a.e.,则$f(x)$是可测的.

零测度集不影响函数的可测性.

(2)设$f(x)$,$f_1(x)$,$\cdots$,$f_k(x)$,$\cdots$是$E$上几乎处处有限的可测函数, $m(E)<\infty$, 若$f_k\rightarrow f$,a.e.,则对任给的$\epsilon>0$, 令

\[E_k(\epsilon) = \{x \in E: |f_k(x) – f(x)| \ge \epsilon \},\]

我们有$\lim_{j \rightarrow \infty}{m(\bigcup_{k=j}^{\infty}{E_k(\epsilon)})} = 0$.

$f_k \rightarrow f$ a.e.说明$\{x | f_k(x)\text{不收敛于}f(x)\}$的测度为0.

上限集$\bigcap_{j=1}^{\infty}{\bigcup_{k=j}^{\infty}{E_k(\epsilon)}}$中的点不是收敛点 $\Rightarrow$ $m(\bigcap_{j=1}^{\infty}{\bigcup_{k=j}^{\infty}{E_k(\epsilon)}}) = 0$, $m(\bigcup_{k=j}^{\infty}{E_k(\epsilon)}) = 0$,原因在于:$T_j=\bigcup_{k=j}^{\infty}{E_k(\epsilon)}$是递减序列, $T_1 \supset T_2 \supset\cdots$ $\Rightarrow$ $m(\lim{T_j}) = \lim{m(T_j)} = 0$.

(3)叶果洛夫定理:

设$f(x)$,$f_1(x)$,$\cdots$,$f_k(x)$,$\cdots$是$E$上几乎处处有限的可测函数,且$m(E) < \infty$, 若$f_k(x) \rightarrow f(x)$ a.e.,则对任给的$\delta > 0$,存在$E$中的子集$E_{\delta}$, $m(E_{\delta})<\delta$,使得$\{f_k(x)\}$在$E\backslash E_{\delta}$上一致收敛于$f(x)$.

下面把涉及到的一些概念搞清楚一些:

(i)几乎处处有限:$m(\{x | |f(x)| = +\infty\}) = 0$, $m(\{x | f(x) = \infty\}) = 0$.

(ii)$f_k(x) \rightarrow f(x)$ a.e: $\lim{f_k(x)} = f(x)$, $x \in E \backslash Z$, $m(Z) = 0$.

记$F_j(\epsilon) = \bigcup_{k=j}^{\infty}{E_k(\epsilon)}$, 则$\lim_{j \rightarrow \infty}{m(F_j(\epsilon))} = 0$.

$\Rightarrow$ 对于$\delta/2^i$, $\exists N$,当$j > N$时,$m(F_j(\epsilon)) < \delta/2^i$,令$j_i=N$,$\epsilon=1/i$,

$\Rightarrow$ $\forall \delta$, $\exists j_i$使$m(F_{j_i}(\frac{1}{i})) < \frac{\delta}{2^i}$,

$E_{\delta} = \bigcup_{i=1}^{\infty}{F_{j_i}(\frac{1}{i})}$, 注意这时$\epsilon \rightarrow 0$,

$m(E_\delta) \le \sum{m(F_{j_i}(\frac{1}{i}))} \le \sum{\frac{\delta}{2^i}} = \delta$,

$E \backslash E_{\delta} = \bigcap_{i=1}^{\infty}{\bigcap_{k=}^{j_i}{\{x \in E | |f_k(x) – f(x)| < \frac{1}{i}\}}}$,

$\frac{1}{i} < \epsilon$ $\Rightarrow$ $k \ge j_i$时, $|f_k(x) – f(x)| < \frac{1}{i} < \epsilon$.

下面看看$E_{\delta}$中的点都有什么点:首先自然应该去掉不连续点,即$E_{\delta}$中含有不连续点, 回忆前面1.2节中$f_k(x)$不收敛于$f(x)$的点表示为

\[D = \bigcup_{k=1}^{\infty}{\bigcap_{N=1}^{\infty}{\bigcup_{n=N}^{\infty}{\{x : |f_n(x) – f(x)| \ge \frac{1}{k}\}}}}\]

试比较一下

\[E_{\delta} = \bigcup_{i=1}^{\infty}{\bigcup_{k=j_i}^{\infty}{F_{k}(\frac{1}{i})}} = \bigcup_{i=1}^{\infty}{\bigcup_{k=j_i}^{\infty}{\{x:|f_k(x) – f(x)| \ge \frac{1}{i}\}}},\]

剥离掉最外面一层有:

\[\begin{aligned}
D_k &= \bigcap_{N=1}^{\infty}{\bigcup_{n=N}^{\infty}{\{x : |f_n(x) – f(x)| \ge \frac{1}{k}\}}} \\
E_{\delta_k} &= \bigcup_{n=j_k}^{\infty}{\{x:|f_n(x) – f(x)| \ge \frac{1}{k}\}} \supset D_k,
\end{aligned}\]

对于这个叶果洛夫定理的证明还要再看书,书中给出一个例子,说明$m(E) < \infty$不能去掉:

$f_n(x) = \chi_{(0,n)}(x)$,$n=1,2,\cdots$,$x\in(0,\infty)$.

(1)$f_n(x)$在$(0,\infty)$上处处收敛于$f(x)=1$.

(2)在$(0,\infty)$中的任一个有限测度集外均不一致收敛于$f(x)=1$.

一致收敛的含义是:$\forall \epsilon>0$,$\exists N$,对所有的$x$有$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$,$n > N$.

对于有界集$E$,有$f_n(x)$一致收敛于$f(x)$.

因为取$n$足够大,使$E\subset(0,n)$,则$|f_n(x)-f(x)|=0$,对所有的$x \in E$成立.

但是若$E$无界,则$\epsilon=1/2$,$\forall N$,我们都可以取$x\notin (0,n)$,此时,$n>N$,

\[|f_n(x)-f(x)|=1>\frac{1}{2},\]

$f_n(x)$只是在有界集内是一致收敛于$f(x)$的.

对于收敛,还需要研究依测度收敛.

几乎处处收敛与依测度收敛.

书中举了一个例子说明为什么要引入依测度收敛的概念. 我需要先理解这个例子:

$n=2^k + i$,$0 \le i < 2^k$.

$f_n(x) = \chi_{[\frac{i}{2^k}, \frac{i+1}{2^k}]}(x)$,$n=1,2,\cdots$,$x\in[0,1]$.

$\frac{i}{2^k}=\frac{n-2^k}{2^k}=\frac{n}{2^k}-1$.

若$x\in[\frac{i}{2^k}, \frac{i+1}{2^k}]$,则$[\frac{2^li}{2^{k+l}}, \frac{2^li+2^l}{2^{k+l}}]$ $\Rightarrow$ $[\frac{j}{2^{k+l}},\frac{j+1}{2^{k+l}}]$, $l=1,2,\cdots$.

$f_{2^k+i}(x) = 1$ $\Rightarrow$ $f_{2^{k+l}+j}(x)=1$,这样的数有无穷多个,而另一方面,剩下的$n$,$f_n(x)$均为0?这后一句话成立吗?应该是成立的,对于$2^k$个$[\frac{i}{2^k},\frac{i+1}{2^k}]$,$x_0$只能属于其中之一,除非是在交点处.

这说明$f_n(x)$在$[0,1]$中的每一个点上都是不收敛的.另一方面,每个$f_n(x)$可测,并且在频率的意义上说,$0$更频繁的出现,$1$只是偶尔出现:

\[m(\{x \in [0,1]:|f_n(x)| \ge \epsilon\}) = \frac{1}{2^k}, \quad (\forall \epsilon > 0).\]

(1)依测度收敛下的极限函数在函数对等意义下唯一:

$\{f_k(x)\}$在$E$上同时依测度收敛于$f(x)$与$g(x)$,则$f(x)=g(x)$ a.e..

\[|f(x) – g(x)| \le |f(x)-f_k(x)| + |g(x)-f_k(x)| a.e.\]

或者说

\[\{x:|f(x)-g(x)|>\epsilon\} \subset \{x:|f(x)-f_k(x)|>\frac{\epsilon}{2}\} \cup \{x:|g(x)-f_k(x)|>\frac{\epsilon}{2}\},\]

注意到几乎处处收敛强调的是点态收敛,而依测度收敛是需要在点集上考虑的,带有一定的整体性.$\{x:|f_k(x)-f(x)|>\epsilon\}$,两者之间的关系在于:

(2)$\{f_k(x)\}$是$E$上几乎处处有限的可测函数列,且$m(E)<\infty$,若$\{f_k(x)\}$几乎处处收敛于几乎处处有限的函数$f(x)$,则$f_k(x)$在$E$上依测度收敛于$f(x)$.

\[\lim{m(\bigcup_{k=j}^{\infty}\{x: |f_k(x)-f(x)| \ge \epsilon\}) = 0}\]

由此推出

\[\lim{m(\{x: |f_k(x)-f(x)| \ge \epsilon\})} = 0.\]

(3)设$f(x)$,$f_1(x)$,$\cdots$,$f_k(x)$,$\cdots$是$E$上几乎处处有限的函数,若对$\forall \delta>0$,$\exists E_{\delta} \subset E$,$m(E_{\delta})<\delta$,使得$\{f_k(x)\}$在$E\backslash E_{\delta}$上一致收敛于$f(x)$,则$\{f_k(x)\}$在$E$上依测度收敛于$f(x)$.

$\forall \epsilon$,$|f_k(x)-f(x)|<\epsilon$,$\forall x \in E \backslash E_{\delta}$ $\Rightarrow$ $\{x:|f_k(x)-f(x)|\ge\epsilon\} \subset E_{\delta}$ $\Rightarrow$ $m(\{x:|f_k(x)-f(x)|\ge\epsilon\}) < \delta$,$\delta$是任意的.

(4)对于依测度收敛来说,可测函数是完备的,即依测度基本列收敛:存在几乎处处有限的可测函数$f(x)$,使依测度基本列$\{f_k(x)\}$收敛于$f(x)$.

文中的证明首先构造出了一个$f(x)$,然后证明$f_k(x)$依测度收敛于$f(x)$,而$f(x)$的构造却使用了几乎处处收敛.

(i)从基本列可以得出

\[m(\{x:|f_l(x) – f_j(x)| \ge \frac{1}{q^i}\}) < \frac{1}{q^2},\]

即集合的测度可以任意小.

把这些集合挑出来,$E_i = \{x: |f_l(x) – f_j(x)| \ge 1/2^i\}$, 则在这些$E_i$之外应有

\[|f_l(x) – f_j(x)| < \frac{1}{2^i}\]

从而说明$\sum{(f_l(x) – f_j(x))}$是一个绝对收敛的级数,(它们的通项受控于$1/2^i$), 而且是一致收敛的.

(ii)前面的方法可以挑出一个列,$f_{k_i}\rightarrow f(x)$,然后证明$f_k(x)\rightarrow f(x)$即可.

\[\begin{aligned}
m(\{x:|f_k(x) – f(x)| \ge \epsilon\}) &\le m(\{x:|f_k(x) – f_{k_i}(x)| \ge \epsilon/2\}) \\
&+m(\{x:|f_{k_i}(x) – f(x)| \ge \epsilon/2\}).
\end{aligned}\]

在这里的证明过程中,实际上是证明了对于依测度基本列中可以抽出一个子列,可以几乎处处收敛.

由此有Riesz定理:

若$\{f_k(x)\}$在$E$上依测度收敛于$f(x)$,则存在子列$\{f_{k_i}(x)\}$,使$f_{k_i}(x)\rightarrow f(x)$ a.e..

$f_k(x)$依测度收敛于$f(x)$,则$f_k(x)$是依测度基本列.