对于连续函数,我们了解得比较多,而能够找出连续函数与可测函数的关系,那么对于研究可测函数是极为有利的.

在这一节没有引入新概念.

(1)鲁金定理

若$f(x)$是$E$上几乎处处有限的可测函数,则对任给的$\delta>0$,存在$E$中的一个闭集$F$,$m(E\backslash F)<\delta$,使得$f(x)$在$F$上连续.

证明分两步走,首先证明$f(x)$为可测简单函数情形,其次讨论$f(x)$为一般可测函数,同时需要用到前面测度的性质.$\forall E$可测,存在闭集$F \subset E$,使$m(E \backslash F)<\delta$.

可测函数的性质: 可以用可测简单函数序列来逼近一个可测函数. 一致收敛的级数保持了连续性.一致收敛要求可测函数有界.

(2)$f(x)$是$E$上几乎处处有限的可测函数,则对任给的$\delta>0$,存在$R^n$上的一个连续函数$g(x)$,使得$m(\{x \in E: f(x)\neq g(x)\})<\delta$,若$E$还是有界集,则可使上述$g(x)$具有紧支集.

$g(x)$可以从$f(x)$通过延拓得到.

对于$E$为有界集,则构造连续函数$\varphi(x)$使

\[\varphi(x) =
\begin{cases}
1 & x \in F \\
0 & x \notin B(0,k)
\end{cases}\]

$E \subset B(0,k)$, 则$g(x)\varphi(x)$是具有紧支集的.

(3)可测函数可以用连续函数来逼近:若$f(x)$是$E$上几乎处处有限的可测函数,则存在$R^n$上的连续函数列$\{g_k(x)\}$,使得$\lim{g_k(x)} = f(x)$ a.e.$x \in E$.

$g_k(x)$满足

\[\begin{gather*}
m(\{x \in E: g_k(x) \neq f(x)\})<\frac{1}{2^k},\\
m(\{x \in E: |g_k(x) – f(x)| > \frac{1}{2^k}\})<\frac{1}{2^k},
\end{gather*}\]

说明$g_k(x)$是依测度收敛于$f(x)$,从而存在子列$g_{k_i}(x)$几乎处处收敛于$f(x)$.

(4)若$f(x)$是$R^1$上的实值可测函数,且对任意的$x,y\in R^1$,有$f(x+y)=f(x)+f(y)$,则$f(x)$是连续函数.

这是一个函数方程,$f(x)=x$为方程的一个解.

令$x=y=0$,则有$f(0)=2f(0)$,$f(0)=0$.

$f(x)$连续是指$\lim_{h \rightarrow 0}{f(x+h)} = f(x)$,或者$\lim_{h \rightarrow 0}{f(x+h)-f(x)} = \lim_{h \rightarrow 0}{f(h)} = 0$,证明$\lim_{h \rightarrow 0}{f(h)} = 0$, 即为$\forall \epsilon > 0$, $\exists \delta$,$|x|<\delta$,$|f(x)|<\epsilon$.

从鲁金定理出发,可作有界闭集$F$:$m(F)>0$,使$f(x)$在$F$上连续,从而是一致连续的.

$\forall \epsilon$,$\exists \delta$,有$|f(x)-f(y)|<\epsilon$,$|x-y|<\delta$,

对于可测集$F-F$,存在$\delta_2>0$,使$F-F \supset [-\delta_2,\delta_2]$.

$\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$,则有$z \in (-\delta,\delta)$时,存在$x,y \in F$,使$x=x-y$,

\[|f(z)|=|f(x-y)|=|f(x)-f(y)|<\epsilon,\]

获证.

如果没有书本,能否自己想到这个证明思路?

(1)找到函数的连续的部分

(2)找到这个区间$[-\delta,\delta]$.

复合函数的可测性:

首先修改了可测性的定义,推广到了更一般的情况.

(5)$f(x)$为$R^n$上实值函数,$f(x)$可测$\Leftrightarrow$对于$R^1$中任一开集$f^{-1}(G)$是可测集.

$\Leftarrow$:$(t,+\infty)$是开集,$\{x:f(x)>t\}=f^{-1}(t,\infty)$,由定义知成立.

$\Rightarrow$:首先是可以得出区间$(a,b)$,$f^{-1}(a,b)$是可测,其次是开集$G$可以由区间构成,从而有$f^{-1}(G)$是可测的结论.

\[f^{-1}(a,b)=f^{-1}(a,\infty) \backslash f^{-1}[b,\infty].\]

关于复合函数有下列结论:

(6)$f(x)$是$R^1$上的连续函数,$g(x)$是$R^1$上的实值可测函数,则$h(x)=f(g(x))$是$R^1$上的可测函数.

注意到对于连续函数有,$G$为开集,则$f^{-1}(G)$也是开集.

对于这个结论,$f$和$g$交换一下就不再成立,$f(x)$为可测,而$g(x)$连续,此时有可能出现$f(g(x))$不可测的情形.书中举了一个例子:

(i)$\phi(x)$为$[0,1]$上的Cantor函数,$\psi(x)=\frac{x+\phi(x)}{2}$,$g(x)=\psi^{-1}(x)$,$\phi(x)$为单调函数,但不是严格单调的,$\psi(x)$是严格单调上升的连续函数,存在逆函数.

(ii)$C$为$[0,1]$中的Cantor集,$W$是$\psi(C)$中的不可测子集.

注意$m(C) = 0$,$\psi(C)$是可测的吗?如果$m^*(\psi(C))=0$,那么它就不应该有不可测子集.

(iii)$\psi^{-1}(W)$是一个什么集合呢?是$C$的一个子集,那么$\psi^{-1}(W)$是可测的,$f(x)$为$\psi^{-1}(W)$上的特征函数,它是一个可测函数,注意到$m(\psi^{-1}(W)) = 0$,故$f(x)=0$ a.e.,$g(x)$是严格单调上升的连续函数,对于$f[g(x)]$呢?

$\{x: f(g(x)) > 0\}$是一个什么集合呢?

$\{x : f(g(x)) > 0\} = \{x: g(x) \in \psi^{-1}(W)\}=W$,不可测.

这里(i)和(ii)都没有疑问,但是(ii)中的$W$是否存在呢?

如果$E$为可测集,$f$为连续函数,$f(E)$是一个什么样的集合呢?

$C$为Cantor集,$\psi(C)=[0,1]$,注意前面Cantor集的讨论.

(7)设$T:R^n\rightarrow R^n$是连续变换,当$Z \subset R^n$且$m(Z) = 0$时,$T^{-1}(Z)$是零测集,若$f(x)$是$R^n$上的实值可测函数,则$f(T(x))$是$R^n$上的可测函数.

开集$G \subset R^n$, $f^{-1}(G)$可测,$f^{-1}(G) = H \backslash Z$,$H$为$G_{\delta}$型集,$m(Z)=0$.

$T^{-1}(Z)$为零测集,$T^{-1}(H)$为$G_{\delta}$集,$T^{-1}{(f^{-1}(G))}=T^{-1}(H) \backslash T^{-1}(Z)$,可测.

由此推出:$f(x)$是$R^n$中的实值可测函数,$T:R^n \rightarrow R^n$是非奇异线性变换,则$f(T(x))$是$R^n$上的可测函数.

$T$为非奇异线性变换说明存在$T^{-1}$,并且有$m(T^{-1}(Z)) = |\det{T}^{-1}| \cdot m(Z)=0$.

书中的附录给出了一些值得注意的地方,应仔细阅读.

(一)叶果洛夫定理对连续指标函数族一般不成立.

(二)鲁金定理的结论不能改为:$m(E \backslash F)=0$,$f(x)$在$F$上连续.

(三)复合函数的可测性有:

若$f(x)$是定义在$[0,1]$上的实值函数,则存在$[0,1]$上的可测函数$g(x)$和$h(x)$,使得

\[f(x) = g[h(x)].\]