对于$R^n$上的函数,首先要定义不定积分,然后再讨论其微分问题:

一种方法是类似于$R^1$情形,把不定积分定义为点函数,例如:$F(x,y)=\int_{a}^{x}{\int_{c}^{y}{f(s,t)dsdt}}$,

另一种方法是采用集合函数的观点来定义:设$f \in L(A)$,$F(E)=\int_{E}{f(y)dy}$为$f$的不定积分,其中$E$是$A$中的任一可测集.这包含了前一种情形:$E=[a,x] \times [c,y]$.

在一维情形,$F(x)$的微分满足:

\[\lim_{h \rightarrow 0}{\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}{f(t)dt}}=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}{f(t)dt}=f(x) a.e.\]

对于多维情形,通常需要考察:

\[\lim_{r \rightarrow 0}{\frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}{f(y)dy}} = f(x) \text{a.e.} \quad (\text{圆球})\]

或者

\[\lim_{r \rightarrow 0}{\frac{1}{|I_r(x)|}\int_{I_r(x)}{f(y)dy}} = f(x) \text{a.e.} \quad (\text{立体})\]

下面是具体讨论过程:

1. $E \subset R^n$,$\Gamma$是一个覆盖$E$的球族$\{B_{\alpha}\}$,即对每个$x \in E$,存在$\Gamma$中的球$B(x,r(x))$,记$r(B)$为球$B(x,r(x))$的半径,若$\sup{\{r(B):B\in \Gamma\}} < \infty$,则$\Gamma$中存在互不相交的$B_1$,$B_2$,$\cdots$,(可数个)使得

\[m^*(E) \le 5^{n}\sum_{k \ge 1}{|B_k|}.\]

证明过程使用了归纳法,带有构造性质.

$B_1 = B(x_1,r(x_1))$,$r(B_1) \ge \frac{1}{2}\sup{\{r(B):B \in \Gamma\}}$.

假设已经取定$B_1$,$\cdots$,$B_k$,按如下规则取$B_{k+1}$,

\[r(B_{k+1}) \ge \frac{1}{2}\sup\{r(B): B \in \Gamma, B \cap B_j=\emptyset, 1 \le j \le k\},\]

对每个$B_k$,作与$B_k$同心的球$B_k^*$,$r(B_k^*)=5r(B_k)$.

然后只需证明$E \subset \bigcup{B_k^*}$即可.

这里先说明$B_k^*$为什么是外扩5倍的半径.

对于球$B$来说,要使得另一球$B’$与$B$不相交,我们会发现,使用$r(B)+2r(B’)$的大球的时候是无法包住$B$与$B’$的,反过来,若$B$与$B’$相交,使用$r(B)+2r(B’)$的半径的球肯定可以包住$B$与$B’$,此时$r(B)+2r(B’)=r(B)+2\cdot2r(B)=5r(B)$.

对于$\sum|B_k|=\infty$,这是平凡情形,可以不予考虑.

而$\sum{|B_k|}<\infty$,说明级数收敛,$\lim_{k\rightarrow \infty}{|B_k|}=0$.

$\forall B \in \Gamma$,存在$k$,使$r(B_{k+1})<r(B)/2$,从而$B$与$B_1$,$\cdots$,$B_k$中的某些相交,否则的话,我们可以继续取该$B$为这个序列中的一个.$B$与$B_{k_0}$相交,则$B \subset B_{k_0}^*$.

令

\[L_rf(x)=\frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}{f(y)dy}.\]

2. 若$f \in L(R^n)$,则$\lim_{r \rightarrow 0}{\int_{R^n}{|L_rf(x)-f(x)|dx}}=0$,即$L_rf(x)$平均收敛于$f(x)$.

证明过程基本上是积分顺序的转化.

\[\int_{R^n}{|\frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}{f(y)dy} – f(x)|dx} \le \frac{1}{|B(x,r)|}\int_{R^n}{[\int_{B(0,r)}{|f(x-y)-f(x)|dy}]dx}.\]

这里使用了变换:

\[\int_{B(x,r)}{(f(y)-f(x))dy} = \int_{B(0,r)}{[f(x-y)-f(x)]dy}.\]

根据平均收敛,存在子列$\{r_k\}$,使得

\[\lim_{k \rightarrow \infty}{L_{r_k}f(x)} = f(x) a.e.\]

为证$L_rf(x) \rightarrow f(x)$ a.e.只需指出当$r \rightarrow 0$时,$L_rf(x)$的极限几乎处处存在即可.

考虑上下极限,

\[(\Omega{f})(x)=|\overline{\lim}_{r \rightarrow 0}{L_rf(x)} – \underline{\lim}_{r \rightarrow 0}{L_rf(x)}|=0\ a.e.\]

或者$\forall \lambda>0$有

\[m(\{x: (\Omega{f})(x) > \lambda\})=0\]

或者

\[m(\{x: (\Omega{f})(x)>\lambda\})<\epsilon,\]

其中$\epsilon$可以任意小.

把$f$分解为$f(x)=g(x)+h(x)$,其中$g(x)$是具有紧支集的连续函数,$h(x)$满足

\[\int_{R^n}{|h(x)|dx} < \epsilon.\]

对于$g(x)$有$\lim_{r \rightarrow 0}{L_rg(x)} = g(x)$,$x \in R^n$,即$(\Omega{g})(x)=0$,

\[(\Omega{f})(x) \le (\Omega{g})(x)+(\Omega{h})(x)=(\Omega{h})(x),\]

问题转化为$m(\{x: (\Omega{h})(x)>\lambda\})<\epsilon$.

从这个讨论中引入了极大函数的概念.

设$f(x)$是$R^n$上的可测函数,令

\[(Mf)(x)=\sup_{r>0}{\frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}{|f(y)|dy}},\]

称之为$f$的Hardy-Littlewood(球)极大函数(H-L极大函数).$\sup_{r \ge 0}{|L_rf(x)|} \le (Mf)(x)$.

若$f(x)$是局部可积函数(即在任一有界可测集上均可积),则$(Mf)(x)$是下半连续,从而是可测的.

3. (极大函数的分布函数的估计)若$f \in L(R^n)$,则对任意$\lambda>0$有

\[m(\{x:(Mf)(x)>\lambda\}) \le \frac{A}{\lambda}\int_{R^n}{|f(x)|dx}.\]

其中$A$只与$R^n$的维数$n$有关,而与$f$无关.

$E_{\lambda}=\{x: (Mf)(x)> \lambda\}$.$\forall x \in E_{\lambda}$,$(Mf)(x)>\lambda$,则存在$B_x=B(x,r)$使

\[\frac{1}{|B_x|}\int_{B_x}{|f(t)|dt}>\lambda,\]

($(Mf)(x)$的定义),即有

\[|B_x| \le \frac{1}{\lambda}\int_{B_x}{|f(t)|dt}\le \frac{1}{\lambda}\int_{R^n}{|f(t)|dt}<\infty\]

于是$\{B_x\}$构成$E_{\lambda}$的覆盖族,且满足前面的条件,于是存在互不相交的球列$\{B_k\}$,使

\[m(E_n)\le 5^n \sum{|B_k|} \le \frac{5^n}{\lambda}\int_{\bigcup{B_k}}{|f(x)|dx} \le \frac{5^n}{\lambda}\int_{R^n}{|f(x)|dx},\quad A = 5^n.\]

4. ($R^n$上不定积分的微分定理)若$f \in L(R^n)$,则

\[\lim_{r \rightarrow 0}{\frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}{f(y)dy}} = f(x) a.e.\]

若能证明$\forall \lambda>0$,$m(\{x:(\Omega{h})(x)>\lambda\})<\epsilon$,其中$\int_{R^n}{|h(x)|dx}<\epsilon$,则结论成立.

\[\begin{gather*}
(\Omega{h})(x)=|\overline{\lim}{L_rh(x)} – \underline{\lim}{L_rh(x)}| \le 2\sup{|L_rh(x)|} \le 2(Mh)(x)\\
m(\{x:(\Omega{h})(x)>\lambda\}) \le m(\{x:(Mh)(x)>\frac{\lambda}{2}\}) \le \frac{2A}{\lambda}\int_{R^n}{|h(x)|dx}<\frac{2A}{\lambda}\epsilon.
\end{gather*}\]

或者有

\[\lim_{r \rightarrow 0}{\frac{1}{r^n}\int_{|y|<r}{[f(x-y)-f(x)]dy}}=0 a.e.\]

微分是一种局部性质,故对局部可积函数也成立上述结论.

若$f(x)$是局部可积函数,则

\[\lim_{r \rightarrow 0}{\frac{1}{r^n}\int_{|y|<r}{[f(x-y)-f(x)]dy}}=0 a.e.\]

积分换元公式:

概念上先引入了微分同胚的概念,它是微分几何和微分拓扑的研究对象.

$U$是$R^n$上开集,$\varphi:U \rightarrow R^n$,$t_0 \in U$,若存在线性变换$T:R^n \rightarrow R^n$,以及$\delta>0$,使得当$t \in U \cap B(t_0,\delta)$时,有$\varphi(t)=\varphi(t_0)+T(t-t_0)+o(t-t_0)$,其中$o(t-t_0)$是一个从$U$到$R^n$的函数,且有$\lim_{t \rightarrow t_0}{\frac{o(t-t_0)}{|t-t_0|}}=0$,则称$\varphi$在$t_0$点是可微的,此时线性变换$T$用$\varphi'(t_0)$表示,称为$\varphi$在$t_0$点的微商.

在这个定义中,一定要注意微商是一种线性变换,$T(t-t_0)=T(t)-T(t_0)$.

$\varphi(t)=(\varphi_1(t),\cdots,\varphi_n(t))$时,$\varphi$可微,意味着偏导数$\frac{\partial{\varphi_j}}{\partial{t_i}}=\lim_{h \rightarrow 0}{\frac{\varphi_j(t+he_i)-\varphi_j(t)}{h}}$存在.

\[\begin{pmatrix}
\frac{\partial{\varphi_1}}{\partial{t_1}} & \cdots & \frac{\partial{\varphi_1}}{\partial{t_n}} \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
\frac{\partial{\varphi_n}}{\partial{t_1}} & \cdots & \frac{\partial{\varphi_n}}{\partial{t_n}}
\end{pmatrix}\]

为$\varphi$的Jacobi矩阵,其行列式记为$J_{\varphi}(t)$.

$\varphi$在$U$上可微,且它的一切偏导数连续,则称$\varphi$为$C^1$变换.

1. 设$\varphi:U \rightarrow R^n$是$C^1$变换,若$Z$是$U$中零测集,则$m(\varphi(Z))=0$,即把零测集变为零测集.

详细证明见课本.整个证明分两步:第一步讨论$\frac{\partial{\varphi_j(t)}}{\partial{t_i}}$有界的情形.然后对于一般情形.

把$U$分解,$U=\bigcup_{1}^{\infty}{B_k}$,其中$B_k$为开球,$\bar{B_k}$为紧集.

对于后一情形,关键在于$m(\varphi(Z))=m(\bigcup{\varphi(Z \cap B_k)})=0$.

有了这个结论,说明$\varphi$把可测集变为可测集.

假设$\varphi:U \rightarrow V$,$U$,$V$为$R^n$中开集,满足条件:(i)$\varphi$是一一变换,(ii)$\varphi$是$C^1$变换,(iii)$J_{\varphi}(t) \neq 0$,$t \in U$,此时逆映射$\psi=\varphi^{-1}$同样满足这三个条件,且有$J_{\varphi}(\psi(x))J_{\varphi}(x)=1$,$x \in V$.

2. 若$f(x)$是$V$上的非负连续函数,则

\[\int_{\varphi(Z)}{f(x)dx} \le \int_{Z}{f(\varphi(t))|J_{\varphi}(t)|dt}.\]

$I$为$R^n$中二进方体,$\bar{I} \subset U$.

证明比较长,暂时看不明白,总的思路是使用反证法.

设$f(x)$是$V$上的非负连续函数,$K \subset U$是紧集,则

\[\int_{\varphi(K)}{f(x)dx}=\int_{K}{f(\varphi(t))|J_{\varphi}(t)|dt}.\]

证明使用了前一个结论.

记$g(x)=f(\varphi(t))|J_{\varphi}(t)|$,$\forall i \in Z$,令$G_i$为所有与$K$相交的$i$级二进方体$I$的并,且满足

\[G_1 \supset G_2 \supset \cdots, \quad \bigcap{G_i}=K.\]

(原书中为$\bigcup{G_i}=K$,应该是不对的)

\[\int_{\varphi(K)}{f(x)dx} \le \int_{\varphi(G_i)}{f(x)dx} = \sum_{I \in G_i}{\int_{\varphi(I)}{f(x)dx}} \le \sum_{I \in G_i}{\int_{I}{g(t)dt}} = \int_{G_i}{g(t)dt}.\]

而$\lim{\int_{G_i}{g(t)dt}} = \int_{K}{g(t)dt}$,因此

\[\int_{\varphi(K)}{f(x)dx} \le \int_{K}{g(t)dt}.\]

反向不等式:考虑$\varphi$的逆映射$\psi=\varphi^{-1}$,$H=\varphi(K)$,$g$与$f$互换.

\[\int_{\psi(H)}{g(x)dx} \le \int_{H}{g(\psi(t))|J_{\psi}(t)|dt}.\]

$\psi(H)=\psi(\varphi(K))=K$,

\[\begin{aligned}
g(\psi(t))|J_{\psi}(t)|&=f(\varphi(\psi(t)))|J_{\varphi}(\psi(t))||J_{\psi}(t)|\\
&=f(t)|J_{\varphi}(\psi(t))J_{\psi}(t)| = f(t)
\end{aligned}\]

这里使用了$|J_{\varphi}(\psi(t))J_{\psi}(t)|=1$,于是

\[\int_{K}{g(x)dx} \le \int_{\varphi(K)}{f(t)dt},\]

获证.

若$E \subset U$是可测集,则$m(\varphi(E))=\int_{E}{|J_{\varphi}(t)|dt}$.

把可测集$E$分解:$E=K \cup Z$,$m(Z)=0$,$K=\bigcup{K_i}$,$K_i \subset K_{i+1}$,每个$K_i$为紧集,应用上一结论.

(换元积分公式)$f(x)$是$V$上的可测函数,我们有

(i) $f(\varphi(t))$是$U$上的可测函数;

(ii) $f \in L(V)$,当且仅当$f(\varphi(t))|J_{\varphi}(t)|$是$U$上的可积函数;

(iii) 若$f \in L(V)$,或$f(x) \ge 0$,则

\[\int_{V}{f(x)dx} = \int_{U}{f(\varphi(t))|J_{\varphi}(t)|dt}.\]

这里第三点的”或”恐怕应该是”且”.

如像本书中的可测函数一直是值域为$R^1$的函数,不过在第三章最后一节给出了一个思路,$f(x):U \rightarrow V$,对于$V$中任一开集$G$,$f^{-1}(G)$是可测集,则$f$是可测的.

这对于(i)是成立的:$g=f \circ \varphi$,则对$G \subset U$,$G$为可测集,$f^{-1}(G)$为可测集,从而$\varphi^{-1}(f^{-1}(G))$为可测集,即$g^{-1}(G)$为可测集.

对于(ii)和(iii),可以同时证明,证明分两步,首先对集合特征函数,然后对简单函数,接下来对非负可测函数,详细证明还是见课本.

球极坐标变量替换公式:$\varphi:R^n \rightarrow R^n$:

\[\begin{cases}
x_1 = r\cos{\theta_1}, \\
x_2 = r\sin{\theta_1}\cos{\theta_2}, \\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
x_j=r\sin{\theta_1}\sin{\theta_2}\cdots\sin{\theta_{j-1}}\cos{\theta_j},2 \le j \le n-1,\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
x_n=r\sin{\theta_1}\sin{\theta_2}\cdots\sin{\theta_{n-2}}\sin{\theta_{n-1}}
\end{cases}\]

其中$0 \le \theta_j < \pi$($j=1,2,\cdots,n-2$),$0 \le \theta_{n-1} \le 2\pi$.

单位球面的向量就是:

\[\omega=(\cos{\theta_1},\sin{\theta_1}\cos{\theta_2}, \cdots, \sin{\theta_1}\cdots\sin{\theta_{n-2}}\cos{\theta_{n-1}},\sin{\theta_1}\cdots\sin{\theta_{n-1}}).\]

\[\begin{aligned}
\frac{\partial{x_j}}{\partial{r}} &= \sin{\theta_1}\sin{\theta_2}\cdots\sin{\theta_{j-1}}\cos{\theta_j} \\
\frac{\partial{x_j}}{\partial{\theta_i}} &= r\sin{\theta_1}\sin{\theta_2}\cdots\sin{\theta_{i-1}}\cos{\theta_i}\sin{\theta_{i+1}}\cdots\sin{\theta_{j-1}}\cos{\theta_j}
\end{aligned}\]

\[\int_{R^n}{f(x)dx}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\cdots\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\infty}{r^{n-1}f(e\omega)\sin^{n-2}{\theta_1}\cdots\sin{\theta_{n-2}}drd{\theta_1}\cdots d{\theta_{n-1}}}\]

$R^n$中单位球面记为

\[\Sigma_n = \{\omega:0 \le \theta_j < \pi,0 \le \theta_{n-1} \le 2\pi,j=1,2,\cdots,n-2\},\]

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\cdots\int_{0}^{\pi}{\cdots d{\theta_1}\cdots d{\theta_{n-1}}}=\int_{\Sigma_n}{\cdots d\omega_n}$.

包含$\Sigma_n$中的开集的最小$\sigma-$代数,当$A$是其中一元时,(此时$A$为Borel集)

\[\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\cdots\int_{0}^{\pi}{\chi_{A}{\omega} d{\theta_1}\cdots d{\theta_{n-1}}}=\int_{\Sigma_n}{\chi_{A}{\omega} d\omega_n}.\]

而$\omega_n(A) = \int_{\Sigma_n}{\chi_{A}(\omega)d\omega_n}$可以被定义为在$\Sigma_n$上的Borel集的测度,称$\omega_n$为$\Sigma_n$的面测度.

\[\int_{R^n}{f(x)dx}=\int_{\Sigma_n}{\int_{0}^{\infty}{r^{n-1}f(r\omega)drd\omega_n}}\]

例:$\omega_n(\Sigma_n)=\int_{\Sigma_n}{d\omega_n} = 2\pi^{n/2}\Gamma(\frac{n}{2})^{-1}$,证明时使用了函数$f(x)=e^{-|x|^2}$.

这里关于$d\omega_n$等概念还不是很明白,需要先了解多元微积分的相关内容.