这一节最重要的是几个不等式:Holder不等式和Minkouski不等式.先介绍几个定义.

1. $L^p$空间和$L^{\infty}$空间

设$f(x)$是$E$上的可测函数,记$\Vert{f}\Vert_p = (\int_{E}{|f(x)|^pdx})^{1/p}$,$0 \le p < \infty$,用$L^p(E)$表示使$\Vert{f}\Vert_p<\infty$的$f$的全体,称其为$L^p$空间.

设$f(x)$是$E$上的可测函数,$m(E)>0$,若存在$M$,使得$|f(x)| \le M$ a.e.,则对一切如此之$M$取下确界,记为$\Vert{f}\Vert_{\infty}$,称它为$|f(x)|$的本性上界,称$f(x)$为本性有界的,用$L^{\infty}(E)$表示$E$上本性有界的函数之全体.

2. 共轭指标

若$p$,$p’>1$,且$\frac{1}{p} + \frac{1}{p’} = 1$,则称$p$与$p’$为共轭指数,当$p=2$时,$p’=2$,当$p=\infty$时,$p’=1$,当$p=1$时,$p’=\infty$.

下面几个结论比较重要.

1. $L^{\infty}(E)$可以认为$p \rightarrow \infty$时$L^p(E)$的极限:

\[\lim_{p \rightarrow \infty}{\Vert{f}\Vert_p} = \Vert{f}\Vert_{\infty}.\]

证明只需使用$\Vert{f}\Vert_{\infty}$的定义即可.$\Vert{f}\Vert_{\infty}=M$为上确界,则$\forall M'<M$,$A = \{x: |f(x)|>M’\}$的测度大于0,从而

\[\Vert{f}\Vert_p \ge (\int_{A}{|f(x)|^pdx})^{1/p}>M'(m(A))^{1/p},\]

另一方面,$\Vert{f}\Vert_p \le (\int_{E}{M^pdx})^{1/p}=M(m(E))^{1/p}$.

2. $L^p(E)$构成一个线性空间:即若$f,g \in L^p(E)$,$\alpha$,$\beta$为实数,则$\alpha{f}+\beta{g} \in L^p(E)$.

\[\begin{gather*}
|\alpha{}f(x)+\beta{}g(x)|^p \le 2^p(|\alpha|^p|f(x)|^p + |\beta|^p|g(x)|^p) \\
|\alpha{}f(x) + \beta{}g(x)| \le |\alpha|\Vert{f}\Vert_{\infty} + |\beta|\Vert{g}\Vert_{\infty} \\
(a + b)^p \le 2^p(a^p + b^p) \quad (\frac{a+b}{2})^p \le (a^p + b^p)/2.
\end{gather*}\]

接下来是两个重要的不等式.

3. (Holder不等式)设$p$与$p’$为共轭指标,若$f \in L^p(E)$,$g \in L^{p’}(E)$,则有

\[\Vert{fg}\Vert_1 \le \Vert{f}\Vert_p\Vert{g}\Vert_{p’},\quad 0 \le p \le \infty.\]

证明的关键是一个初等不等式:

\[a^{1/p}b^{1/p’} \le \frac{a}{p} + \frac{b}{p’}, \quad a>0,b>0.\]

令$a = \frac{|f(x)|^p}{\Vert{f}\Vert_p^p}$,$b = \frac{|g(x)|^{p’}}{\Vert{g}\Vert_{p’}^{p’}}$即可.

\[\int{\frac{|f(x)g(x)|}{\Vert{f}\Vert_{p}\Vert{g}\Vert_{p’}}dx} \le \frac{1}{p}\int{\frac{|f(x)|^p}{\Vert{f}\Vert_p^p}dx} + \frac{1}{p’}\int{\frac{|g(x)|^{p’}}{\Vert{g}\Vert_{p’}^{p’}}dx} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p’} = 1.\]

这是如何想到的呢?

$f”(x) > 0$时,$f(x)$为凹函数,此时

\[f(x) \le \frac{b-x}{b-a}f(a) + \frac{x-a}{b-a}f(b).\]

令$f(x)=-\ln{x}$,$\theta=(b-x)/(b-a)$,$x=\theta{}a + (1-\theta)b$,则

\[-\ln{(\theta{}a + (1 – \theta)b)} \le \ln(a^{-\theta}b^{-(1 – \theta)})\]

由此得到

\[a^{\theta}b^{1-\theta} \le \theta{}a + (1 – \theta)b,\]

令$\theta = 1/p$即可.

当$p=p’=2$时,通常称为Schwartz不等式:

\[\int_{E}{|f(x)g(x)|dx} \le (\int_{E}{|f(x)|^2dx})^{1/2}(int_{E}{|g(x)|^2dx})^{1/2},\]

对于离散情形,即为Cauchy不等式:

\[(\sum{a_ib_i})^2 \le (\sum{a_i^2})(\sum{b_i^2}).\]

证明使用二次方程根的判别式:

\[(\sum{a_i^2})x^2 + 2(\sum{a_ib_i})x + (\sum{b_i^2}) \ge 0.\]

接下来是Holder不等式的一些应用.

(1) 若$m(E) < \infty$,且$p_1 < p_2 \le \infty$,则$L^{p_2}(E) \subset L^{p_1}(E)$,且有

\[\Vert{f}\Vert_{p_1} \le [m(E)]^{(1/p_1) – (1/p_2)}\Vert{f}\Vert_{p_2}.\]

$r = p_2/p_1>1$,$r’$为$r$的共轭指标,由H\”older不等式

\[\begin{aligned}
\int_{E}{|f(x)|^{p_1}dx} &= \int_{E}{[|f(x)|^{p_1} \cdot 1]dx} \\
&\le(\int_{E}{|f(x)|^{p_1 \cdot r}dx})^{1/r}(\int_{E}{1^{r’}dx})^{1/r’} \\
&=(\int_{E}{|f(x)|^{p_2}dx})^{1/r}[m(E)]^{1/r’}
\end{aligned}\]

(2) 若$f \in L^r(E) \cap L^{s}(E)$,且令$0<r<p<s\le\infty$,

\[0 < \lambda < 1,\quad \frac{1}{p} = \frac{\lambda}{r} + \frac{1 – \lambda}{s},\]

则

\[\Vert{f}\Vert_{p} \le \Vert{f}\Vert_{r}^{\lambda} \cdot \Vert{f}\Vert_{s}^{1 – \lambda}.\]

\[\begin{aligned}
\int_{E}{|f(x)|^pdx} &= \int_{E}{|f(x)|^{\lambda{}p}|f(x)|^{(1 – \lambda)p}dx} \\
&\le (\int_{E}{|f(x)|^rdx})^{\lambda{p}/r}(\int_{E}{|f(x)|^sdx})^{(1-\lambda)p/s}
\end{aligned}\]

还应对$s = \infty$时进行讨论.

下面是另一个重要的不等式:

4. Minkowski不等式:若$f, g \in L^p(E)$,$0 \le p \le \infty$,则

\[\Vert{f+g}\Vert_p \le \Vert{f}\Vert_p + \Vert{g}\Vert_p.\]

这是所谓的三角不等式,有了这个不等式,以及前面$L^p(E)$为线性空间的结论,可知$L^p(E)$是一个距离空间,距离可以用$\Vert{f-g}\Vert_p$来定义.

证明使用了Holder不等式:首先把几种平凡的情形加以讨论,如$p=0$,$p=\infty$等.

\[\begin{aligned}
\int_{E}{|f(x)+g(x)|^pdx} &= \int_{E}{|f(x)+g(x)|^{p-1}|f(x)+g(x)|dx} \\
&\le \int_{E}{|f(x)+g(x)|^{p-1}|f(x)|dx} + \int_{E}{|f(x)+g(x)|^{p-1}|g(x)|dx},
\end{aligned}\]

对两个积分分别运用Holder不等式:($p’=p/(p-1)$)

\[\begin{aligned}
\int_{E}{|f(x)+g(x)|^{p-1}|f(x)|dx} &\le [\int_{E}{(|f(x)+g(x)|^{p-1})^{p’}dx}]^{1/p’}[\int_{E}{|f(x)|^pdx}]^{1/p} \\
&=[\int_{E}{|f(x)+g(x)|d^px}]^{(p-1)/p} \Vert{f}\Vert_p = \Vert{f+g}\Vert_{p}^{p-1}\Vert{f}\Vert_p,
\end{aligned}\]

或者说

\[\begin{aligned}
\int_{E}{|f(x)+g(x)|^{p-1}|f(x)|dx} &\le \Vert{f+g}\Vert_{p}^{p-1} \cdot \Vert{f}\Vert_p \\
\int_{E}{|f(x)+g(x)|^{p-1}|g(x)|dx} &\le \Vert{f+g}\Vert_{p}^{p-1} \cdot \Vert{g}\Vert_p
\end{aligned}\]

由此得到

\[\Vert{f+g}\Vert_{p}^{p} \le \Vert{f+g}\Vert_{p}^{p-1}(\Vert{f}\Vert_p + \Vert{g}\Vert_p)\]

即可得到结论.

有一个推论:设$1 \le p \le \infty$,若$f_k \in L^p(E)$,且级数$\sum{f_k(x)}$在$E$上几乎处处收敛,则

\[\Vert{\sum{f_k}}\Vert_p \le \sum{\Vert{f_k}\Vert_p}.\]