本节主要是两个结论:(1)$L^p(E)$是完备的距离空间;(2)$L^p(E)$是可分的.

在这里首先引入了$L^p(E)$中的距离,收敛,基本列等概念,后面又需要可分空间的概念,下面先说明这些定义.

1. 极限:设$f_k \in L^p(E)$,若存在$f \in L^p(E)$,使得

\[\lim_{k \rightarrow \infty}{d(f_k,f)} = \lim_{k \rightarrow \infty}{\Vert{f_k – f}\Vert_p} = 0,\]

则称$\{f_k\}$依$L^p$的意义收敛于$f$,$\{f_k\}$为$L^p(E)$中的收敛列,$f$为$\{f_k\}$的极限.

2. 基本列(Cauchy列):设$\{f_k\} \subset L^p(E)$,若$\lim_{k,j \rightarrow \infty}{\Vert{f_k – f_j}\Vert_{p}}=0$,则称$\{f_k\}$是$L^{p}(E)$中的基本列.

3. 可分空间:设$\Gamma$是$|^p(E)$中的子集,若对任意的$f \in L^p(E)$,以及$\epsilon > 0$,存在$g \in \Gamma$,使得$\Vert{f-g}\Vert_p<\epsilon$,则称$\Gamma$在$L^p(E)$中稠密,若$L^p(E)$中存在可数稠密子集,则称$L^p(E)$是可分的.

在这里需要注意:$f,g \in L^p(E)$,$f=g$定义为$f(x)=g(x)$ a.e..

接下来首先引入距离,从而证明$L^p(E)$构成一个距离空间.

1. 对于$f,g\in L^p(E)$,定义$d(f,g)=\Vert{f-g}\Vert_p$,$1 \le p \le \infty$,则$(L^p(E), d)$是一个距离空间.

证明比较简单,关于三角不等式的证明,使用Minkowski不等式即可.

然后是定义收敛,极限等概念,其中提到了关于极限,收敛的几个性质,这几个性质比较简单,实际上在距离空间中普遍成立.

所谓完备:就是所有的基本列都是收敛的.(反过来是显然成立的)

2. $L^p(E)$是完备的距离空间.

这个证明的关键是找到极限$f$.

(1)$\{f_k\} \subset L^p(E)$为基本列:$\lim_{k,j \rightarrow \infty}{\Vert{f_j – f_k}\Vert_p} = 0$.

$\forall \sigma >0$,令$E_{j,k}(\sigma)=\{x \in E: |f_j(x)-f_k(x)| \ge \sigma\}$,

\[\begin{aligned}
\sigma[m(E_{j,k}(\sigma))]^{1/p} & \le [\int_{E_{j,k}(\sigma)}{|f_j(x)-f_k(x)|^pdx}]^{1/p}\\
&\le [\int_{E}{|f_j(x)-f_k(x)|^pdx}]^{1/p}=\Vert{f_j – f_k}\Vert_{p}
\end{aligned}\]

由此得到$lim_{j,k \rightarrow \infty}{E_{j,k}(\sigma)}=0$,$\{f_k\}$在$E$上是依测度收敛的,存在$E$上的几乎处处有限的可测函数$f(x)$,使得$\{f_k(x)\}$依测度收敛于$f(x)$,又可从$f_k$中选出子列$\{f_{k_i}(x)\}$使$f_{k_i}(x)$几乎处处收敛于$f(x)$,即$\lim_{i \rightarrow \infty}{f_{k_i}(x)}=f(x)$ a.e..

\[\begin{aligned}
\int_{E}{|f_k(x)-f(x)|^pdx} &= \int_{E}{\lim_{i \rightarrow \infty}{|f_k(x)-f_{k_i}(x)|^p}dx} \\
&\le \underline{\lim}{\int_{E}{|f_k(x)-f_{k_i}(x)|^pdx}}
\end{aligned}\]

由此得到$\lim_{k \rightarrow \infty}{\int_{E}{|f_k(x)-f(x)|^pdx}}=0$,即$\lim_{k \rightarrow \infty}{\Vert{f_k-f}\Vert_p}=0$,而$\Vert{f}\Vert_p \le \Vert{f-f_k}\Vert_p + \Vert{f_k}\Vert_p$,可知$f \in L^p(E)$.($1 \le p < \infty$时成立).

$p = \infty$,$\lim_{j,k \rightarrow \infty}{\Vert{f_j-f_k}\Vert_{\infty}}=0$,$|f_k(x)-f_j(x)| \le \Vert{f_k-f_j}\Vert_{\infty}$ a.e.

存在零测集$Z$使得对一切自然数$k,j$有$|f_k(x)-f_j(x)| \le \Vert{f_k-f_j}\Vert_{\infty}$,$x \notin Z$.

存在$f(x)$使$\lim_{k \rightarrow \infty}{f_k(x)}=f(x)$,$x \in E \backslash Z$,$f \in L^{\infty}(E)$,然后要证明$\Vert{f_k-f}\Vert_{\infty} \rightarrow 0$,见课本.

3. 关于$L^p$空间的可分性

先证明了一个引理.

$f \in L^p(E)$,则对任意的$\epsilon>0$,有

(1) 存在$R^n$上具有紧支集的连续函数$g(x)$,使$\int_{E}{|f(x)-g(x)|^pdx}<\epsilon$.

(2) 存在$R^n$上具有紧支集的阶梯函数$\varphi$:$\varphi(x)=\sum_{1}^{k}{c_i\chi_{I_i}(x)}$使$\int_{E}{|f(x)-\varphi(x)|^pdx}<\epsilon$,其中每个$I_i$都是二进方体.

$L^p$($1 \le p < \infty$)是可分空间

设$E=R^n$,也就是需要找到一个可数集合$\Gamma$,使得$\forall f \in L^p(E)$,存在$g \in \Gamma$,使得$\Vert{f-g}\Vert_p<\epsilon$.

书中使用阶梯函数构造了$\Gamma$.

对于一般的可测集$E$,令$f_1(x)=f(x)$,$x \in E$,$f_1(x)=0$,$x \notin E$.

首先对于阶梯函数$\varphi(x)=\sum{c_i\chi_{I_i}(x)}$,有$\Vert{f-\varphi}\Vert_p \le \epsilon/2$,对于$c_i$,我们选择有理数$r_i$,然后令$\psi(x)=\sum{r_i\chi_{I_i}(x)}$,这样构造的$\psi(x)$是可数的.

若$1 \le p <\infty$,$1 \le r \le \infty$,则$L^p(E) \cap L^r(E)$在$L^p(E)$中稠密.

是不是有阶梯函数属于$\bigcap_{1}^{\infty}{L^k(E)}$,如果是这样,自然是稠密的.

注意$L^{\infty}(E)$是不可分的,这里$m(E)>0$,书中给出了一个例子.

\[L^{\infty}((0,1)),f_t(x)=\chi_{(0,t)}(x),0<t<1.\]

4. 若$f \in L^p(R^n)$,$1 \le p < \infty$,则有

\[\lim_{t \rightarrow 0}{\int_{R^n}{|f(x+t)-f(x)|^pdx}} = 0.\]

令$g_t(x)=f(x+t)$,则所求为$\Vert{g_t-g_0}\Vert_p=0$,$t \rightarrow 0$,也就是连续性方面的结论,平均连续性.

若$f \in L^p(R^n)$,$1 \le p < \infty$,则

\[\lim_{t \rightarrow 0}{\int_{R^n}{|f(x)+f(x-t)|^pdx}}=2\int_{R^n}{|f(x)|^pdx}.\]

前面关于可分性的引理表明存在$f(x)$的分解:$f(x)=g(x)+h(x)$,$g(x)$为具有紧支集的连续函数,而$\Vert{h}\Vert_p<\epsilon/4$.

紧支集意味着$g(x)$在某个有界区域内值不为零,而在此区域之外值为零,于是$g(x)$与$g(x-t)$有可能出现支集不相交,于是$t$足够大时

\[\int_{R^n}{|g(x)+g(x-t)|^pdx}=\int_{R^n}{|g(x)|^pdx}+\int_{R^n}{|g(x-t)|^pdx}=2\int_{R^n}{|g(x)|^pdx}.\]

\[\begin{aligned}
|\Vert{f + f_t}\Vert_p – \Vert{g + g_t}\Vert_p|&<\epsilon/2 \\
|\Vert{f + f_t}\Vert_p – 2^{1/p}\Vert{g}\Vert_p|&<\epsilon/2 \\
|\Vert{f + f_t}\Vert_p – 2^{1/p}\Vert{f}\Vert_p| &< |\Vert{f+f_t}\Vert_p-2^{1/p}\Vert{g}\Vert_p| + |2^{1/p}\Vert{g}\Vert_p – 2^{1/p}\Vert{f}\Vert_p| \\
&< \epsilon/2 + \epsilon/2=\epsilon
\end{aligned}\]