并集和交集:
前面无序对给出了拥有两个元素的集合,我们通过并集可以得到包含更多元素的集合.
公理2.1 [并集公理-Axiom of unions] 对任意一簇集合,存在一个集合,包含所有这样的元素,这个元素至少是这一簇集合中的某一个集合的元素.
使用数学符号表示为:$\forall \mathscr{C}$,$\exists \mathscr{U}$,若$x \in X$,$X \in \mathscr{C}$,则$x \in \mathscr{U}$.
关于并集有如下公式:
1. $A \cup \emptyset = A$;
2. $A \cup B = B \cup A$.交换律(commutativity)
3. $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$.结合律(associativity)
4. $A \cup A = A$.幂等(idempotence)
5. $A \subset B$当且仅当$A \cup B = B$.
注意到无序对只有两个元素,通过它和并集的关系:$\{a\} \cup \{b\} = \{a,b\}$,可以推广到三元集,四元集,…
\[\{a,b,c\}=\{a\}\cup\{b\}\cup\{c\}.\]
交集:
\[A \cap B = \{x : x \in A \text{且} x \in B\}\]
它可以推广到一簇集合$\mathscr{C}$的交集,此时$\mathscr{C} \neq \emptyset$;此时
\[\cap\{X; X \in \mathscr{C}\} = \{x: x \in X, \forall X \in \mathscr{C}\}\]
交集的性质:
1. $A \cap \emptyset = \emptyset$;
2. $A \cap B = B \cap A$.交换律(commutativity)
3. $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$.结合律(associativity)
4. $A \cap A = A$.幂等(idempotence)
5. $A \subset B$当且仅当$A \cap B = A$.
特殊的,当$A \cap B = \emptyset$时,称$A$与$B$不相交(disjoint).两两不相交(pairwise disjoint).
交与并的分配律(distributive law)
\[\begin{gather*}
A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\\
A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
\end{gather*}\]
习题:$(A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)$的充要条件是$C \subset A$.
若$(A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)$,要证明$C \subset A$:$\forall x \in C$,则$x \in (A \cap B) \cup C$,由此得到,$x \in A \cap (B \cup C)$,因此$x \in A$,获证.
反之,如果$C \subset A$,需要证明:$(A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)$.
$x \in (A \cap B) \cup C$,则或者$x \in (A \cap B)$,或者$x \in C$,若$x \in A \cap B$,则$x \in A$且$x \in B$,$x \in A$,且$x \in B \cup C$,于是$x \in A \cap (B \cup C)$.
若$x \in C$,则$x \in A$,$x \in B \cup C$,于是$x \in A \cap (B \cup C)$.
$x \in A \cap (B \cup C)$,$x \in A$,且$x \in B \cup C$,若$x \in B$,则$x \in A \cap B$,这样$x \in (A \cap B) \cup C$,若$x \in C$,则$x \in (A \cap B) \cup C$.
补集和幂集:
相对补集:$A – B = \{x \in A: x \notin B\}$,很多时候,我们考虑一种特殊情形下的补集,固定一个集合$E$,此时$E-A=A’$.
补集的一些性质:$(A’)’=A$;$\emptyset’=E$,$E’=\emptyset$;$A \cap A’=\emptyset$;$A \cup A’=E$;$A \subset B$当且仅当$B’ \subset A’$.
和补集相关的一个非常重要的性质(De morgan法则):
\[\begin{gather*}
(A \cup B)’ = A’ \cap B’ \\
(A \cap B)’ = A’ \cup B’
\end{gather*}\]
这一法则揭示了一个重要的现象,常称为对偶原理,在包含了并集,交集,以及补集的包含关系或者等式中,只要把每一个集合替换为它的补集,交换并与交的位置,把包含关系反向,则对应的关系仍旧成立.
关于补集的一些结论:
1. $A – B = A \cap B’$;
2. $A \subset B$当且仅当$A – B = \emptyset$;
3. $A – (A – B) = A \cap B$;
4. $A \cap (B – C) = (A \cap B) – (A \cap C)$;
5. $A \cap B \subset (A \cap C) \cup (B \cap C’)$;
6. $(A \cup C) \cap (B \cup C’) \subset A \cup B$;
$A$与$B$的对称差(布尔和)定义为:$A + B = (A-B) \cup (B-A)$.
对称差满足交换律;结合律以及$A + \emptyset = A$,$A + A = \emptyset$.
关于一组集合的交集,有一点需要讨论一下,在定义中要求这一组集合中至少有一个集合,如果出现空的集合簇,即讨论:$x \in X$,对任意的$X \in \emptyset$,会引发出$\cap{\emptyset}$为一个万物之集,为了取消非空的集合簇这一限制,可以把所有的集合限制在一个所谓全集$E$上,此时$\cap{\emptyset}=E$,$\mathscr{C} \cup \{E\}$.
公理2.2 [幂集公理:Axiom of powers] 对每一个集合,存在一个集合簇,它包含所有这个给定集合的子集.
集合$E$的幂集常记作$P(E)$.
对于有限集$E$,其中有$n$个元素,则$P(E)$中有$2^n$个元素,这也是幂集这个称谓的来源吧.这个结论可以使用归纳法证明,不过这里只能使用以前的关于自然数的信息,从更严格的角度来看,需要首先定义自然数的含义,也就是这里$n$和$2^n$的含义.
习题:证明$P(E) \cap P(F) = P(E \cap F)$,$P(E) \cup P(F) \subset P(E \cup F)$,它们可以推广到
\[\bigcap_{X \in \mathscr{C}}{P(X)} = P(\bigcap_{X \in \mathscr{C}}{X}),\quad \bigcup_{X \in \mathscr{C}}{P(X)} \subset P(\bigcup_{X \in \mathscr{C}}{X}).\]
$P(E) \cap P(F)$中的元素是集合$X$,$X \subset E$,$X \subset F$ $\Leftrightarrow$ $A \subset E \cap F$ $\Leftrightarrow$ $X \in P(E \cap F)$.
$X \in P(E) \cup P(F)$ $\Rightarrow$ $X \in P(E)$或$X \in P(F)$ $\Rightarrow$ $X \subset E$或$X \subset F$ $\Rightarrow$ $X \subset E \cup F$, $\Rightarrow$ $X \in P(E \cup F)$.
反过来为什么不一定成立?$X \in P(E \cup F)$ $\Rightarrow$ $X \subset E \cup F$;此时$X$中可能一部分属于$E$,一部分属于$F$,$X \notin P(E)$或$P(F)$.只要$E-F\neq \emptyset$,或$F-E \neq \emptyset$,上面的包含关系就是真包含.